Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2025 – 1ª Chamada

Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2025 – 1ª Chamada

1. Em uma pesquisa com 300 pessoas, sobre hábitos alimentares, foram obtidos os seguintes dados:

210 pessoas consomem fruta, diariamente;

180 pessoas consomem legumes, diariamente;

135 pessoas consomem fruta e legumes, diariamente;

120 pessoas consomem frutas e cereais, diariamente;

105 pessoas consomem legumes e cereais, diariamente;

90 pessoas consomem os três tipos de alimentos.

Represente essa situação em um diagrama de Venn.

Quantas pessoas não consomem nenhum dos três tipos de alimentos, diariamente.

RESOLUÇÃO

Dados do problema

Numa pesquisa foram entrevistadas 300 pessoas.

Temos as seguintes informações:

• Pessoas que consomem Frutas (F) = 210
• Pessoas que consomem Legumes (L) = 180
• Pessoas que consomem Cereais (C) = 150
• Pessoas que consomem Frutas e Legumes = 135
• Pessoas que consomem Frutas e Cereais = 120
• Pessoas que consomem Legumes e Cereais = 105
• Pessoas que consomem os três alimentos = 90

a) Represente essa situação em um diagrama de Venn.

Antes de desenharmos o diagrama, precisamos descobrir quantas pessoas pertencem a cada região.

1.º Passo: Colocar quem consome os três alimentos

Primeiramente, olhamos para a informação mais específica que o problema nos dá: as pessoas que consomem os três alimentos. Como o texto diz que 90 pessoas consomem frutas, legumes e cereais, você deve colocar o número 90 bem no meio do seu diagrama, onde os três círculos se cruzam. Esse grupo já está garantido!

2.º Passo: Descobrir quem consome apenas dois alimentos

Em seguida, vamos preencher onde apenas dois círculos se encontram. Aqui está a grande pegadinha: quem come os três alimentos também come dois, então precisamos subtrair o valor do centro para não contar a mesma pessoa duas vezes.

• Fruta e Legumes: O total é 135. Porém, 90 dessas pessoas já estão no centro. Logo, fazemos: 135 – 90 = 45. (Coloque 45 na área onde apenas Frutas e Legumes se cruzam).
• Frutas e Cereais: O total é 120. Do mesmo modo, descontamos o centro: 120 – 90 = 30. (Coloque 30 onde apenas Frutas e Cereais se cruzam).
• Legumes e Cereais: O total é 105. Igualmente, subtraímos o centro: 105 – 90 = 15. (Coloque 15 onde apenas Legumes e Cereais se cruzam).

3.º Passo: Descobrir quem consome apenas Frutas

Agora, vamos para as partes maiores dos círculos, que representam quem consome somente aquele alimento. Para isso, pegamos o total de cada círculo e subtraímos todas as partes que já colocamos dentro dele.

• Só Frutas: O total é 210. Sendo assim, tiramos os 90 do centro, os 45 (fruta/legume) e os 30 (fruta/cereal): 210 – (90 + 45 + 30) = 210 – 165 = 45. (Coloque 45 na área exclusiva de Frutas).
• Só Legumes: O total é 180. Consequentemente, subtraímos as partes dele: 180 – (90 + 45 + 15) = 180 – 150 = 30. (Coloque 30 na área exclusiva de Legumes).
• Só Cereais: O total é 150. Portanto, tiramos o que já está lá dentro: 150 – (90 + 30 + 15) = 150 – 135 = 15. (Coloque 15 na área exclusiva de Cereais).

Onde:

F: Frutas

L: Legumes

C: Cereais

x: Pessoas não consomem nenhum dos três tipos de alimentos

b) Quantas pessoas não consomem nenhum dos três tipos de alimentos?

Primeiro vamos descobrir quantas pessoas consomem pelo menos um dos alimentos.

Somamos todas as regiões do diagrama. 270 pessoas consomem pelo menos um dos alimentos. Como foram entrevistadas 300 pessoas, as que não consomem nenhum alimento são 30.

DICA: Sempre que um problema envolve três conjuntos, comece por colocar no centro do diagrama quem pertence aos três conjuntos. Depois, encontre as regiões de apenas dois conjuntos subtraindo o valor central. Por último, calcule as regiões de apenas um conjunto e, se necessário, descubra quantos elementos ficaram fora dos conjuntos. Essa sequência evita erros e torna a resolução muito mais simples.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2011 – 1ª Época

2. Dados os quadrados A e B, com áreas representadas por A(x) = 4x⁴ – 35x² e B(x) = x², respectivamente, onde x representa a medida do lado. Determine o valor de x, de modo que as áreas sejam iguais.

RESOLUÇÃO

Dica: Sempre que um problema disser que duas grandezas são iguais, o primeiro passo é igualar as expressões. Em seguida, organize a equação, fatorize quando possível e lembre-se de interpretar a resposta de acordo com o contexto. Neste caso, como (x) representa o lado de um quadrado, apenas valores positivos são válidos.

Dados do problema

Temos dois quadrados:

• Área do quadrado A: A(x) = 4x⁴ – 35x²
• Área do quadrado B: B(x) = x²

Pretende-se determinar o valor de (x) para que as duas áreas sejam iguais.

Comentários da resolução

No passo (1), como as áreas devem ser iguais, escrevemos: A(x) = B(x), no ponto (2) substituímos as expressões dadas: 4x⁴ – 35x² = x². Entretanto, no ponto (3), passamos todos os termos para o primeiro membro, resultando em 4x⁴ – 35x² – x² = 0, já no ponto (4) simplificando temos a equação 4x⁴ – 36x² = 0. Observamos que ponto (5), os dois termos possuem (4x²) como fator comum, resultando na equação em equivalente no ponto (6). Então, a partir desse ponto, aplicam-se a propriedade do produto nulo, cujo, os resultados são apresentados no ponto (7).

Como (x) representa a medida do lado de um quadrado, ele não pode ser negativo.

Além disso, se (x = 0), o lado do quadrado seria nulo, o que não representa um quadrado válido. No entanto, a matemática não é apenas sobre números soltos; precisamos interpretar o que eles significam na vida real. O problema diz que x representa a medida do lado de um quadrado. Visto que é impossível desenhar um quadrado com um lado negativo (– 3) e um quadrado com lado igual a zero nem sequer existe (seria apenas um ponto), nós obrigatoriamente descartamos os valores 0 e –3.

Por fim, a única resposta que obedece tanto às leis da matemática quanto à lógica da geometria é o número positivo. Logo, o valor procurado é x = 3.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2011 – 2ª Época

3. Dado o gráfico abaixo, indique:

a) O contradomínio.

b) A ordenada na origem.

c) O zero da função, se existir.

d) A monotonia.

RESOLUÇÃO

Analisar gráficos é como ler um mapa: a gente só precisa saber para qual eixo olhar em cada pergunta.

Antes de responder às perguntas, vamos observar atentamente o gráfico.

Podemos verificar que:

• A curva passa pela origem, isto é, pelo ponto (0,0).
• O ponto destacado é (−2,3).
• À medida que o valor de x aumenta, os valores de y diminuem.
• A curva aproxima-se da reta y = −1, mas não a toca.

a) Indique o contradomínio.

O contradomínio analisa-se no eixo y (vertical).

Primeiramente, precisamos lembrar o que é o contradomínio (ou conjunto imagem). Ele representa todos os valores que o gráfico ocupa no eixo y (de baixo para cima).

Se observarmos bem o gráfico, a curva desce, desce, desce, mas parece frear ao chegar perto da linha pontilhada no -1. Ela nunca toca e nunca passa do -1 (chamamos isso de assímptotas). Para cima, ela vai subindo sem parar.

Portanto, o contradomínio começa um pouquinho acima do -1 e vai até o infinito positivo.

Logo, CD(f) = {y ∈ R: y > −1} ou, em forma de intervalo, ]−1,+∞[

b) Indique a ordenada na origem.

A ordenada na origem é onde o gráfico corta o eixo y.

Em seguida, vamos procurar a “ordenada na origem”. Esse nome chique significa simplesmente: em qual valor de y a curva atravessa o eixo vertical?

Nesse sentido, basta olhar para a linha do y. Veja que a linha do gráfico cruza o eixo vertical exatamente no meio da cruz, ou seja, na “origem” do plano cartesiano, onde x = 0 e y = 0. Logo, o valor da ordenada na origem é zero, y = 0.

c) Indique o zero da função, se existir.

O zero da função, é o ponto, onde o gráfico corta o eixo x.

Agora, vamos buscar o “zero da função” (também chamado de raiz). Esse é o exato oposto da pergunta anterior: é o local onde a curva atravessa o eixo horizontal (eixo x).

Como já vimos no passo anterior, a curva passa exatamente pelo centro do plano cartesiano. Isso significa que ela corta o eixo horizontal bem na marcação do zero.

Assim sendo, a função possui sim um zero, e ele vale zero, ou seja, x = 0.

d) A monotonia

A monotonia, indica o comportamento da curva.

Uma função é:

• crescente quando aumenta da esquerda para a direita;
• decrescente quando diminui da esquerda para a direita.

Observando o gráfico, percebemos que:

• quando x aumenta,
• os valores de y diminuem.

Ou por outra:

Para descobrir a monotonia, você deve “ler” o gráfico da mesma forma que lê um caderno: da esquerda para a direita.

Sendo assim, imagine que você é um bonequinho andando sobre a linha do gráfico vindo lá do lado negativo do x em direção ao lado positivo. O que acontece com você? Você estaria escorregando para baixo o tempo todo, como em um tobogã.

Consequentemente, como a curva está sempre indo para baixo conforme avançamos para a direita, dizemos que a função tem uma única monotonia.

Logo, a função é decrescente em todo o seu domínio.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2012 – 1ª época

4. Dada a inequação –x² + 6x – 10 < 0

a) Esboce o gráfico da função quadrática associada f(x).

b) Determine o conjunto solução da inequação.

RESOLUÇÃO

Temos a inequação: –x² + 6x – 10 < 0

a) Esboce o gráfico da função quadrática associada.

A função associada é: f(x) = –x² + 6x – 10 < 0

1.º Passo: Identificar os coeficientes

Comparando com a forma canônica: ax² + bx + c, temos: a = -1; b = 6 e c = -10

2.º Passo: Determinar a concavidade

Observamos que o valor de a é negativo (a = -1 < 0). Logo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

3.º Passo: Verificar se corta o eixo x

Calculamos o discriminante (Delta):

Como delta é negativo (Δ < 0) então, a função não possui raízes reais.

Portanto, a parábola não corta o eixo x.

4.º Passo: Calcular o vértice

A abcissa do vértice é dada por:

Agora calculamos o vértice da ordenada:

Logo, o vértice é V(3,-1).

5.º Passo: Encontrar a ordenada na origem

Fazendo x = 0:

Assim, o gráfico corta o eixo (y) no ponto (0,-10).

Esboço do gráfico

O gráfico possui as seguintes características:

• Concavidade voltada para baixo.
• Vértice em (3,-1).
• Passa pelo ponto (0,-10).
• Não intercepta o eixo x.

b) Determine o conjunto solução da inequação.

Temos a inequação: –x² + 6x – 10 < 0

Observando o gráfico, percebemos que:

• toda a parábola está abaixo do eixo (x) – parte negativa;
• o maior valor da função é (-1), no vértice;
• como (-1 < 0), todos os valores de f(x) são negativos.

Assim, a função é negativa (f(x) < 0) para qualquer valor real de (x).

Logo, o conjunto solução é: S = IR

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2012 – 2ª época

5. Um triângulo rectângulo tem um cateto de 5 cm de comprimento e um ângulo de 60º, oposto a esse cateto. Qual é o comprimento da hipotenusa.

RESOLUÇÃO

Dados do problema

Temos um triângulo retângulo em que:

• Um cateto mede 5 cm;
• O ângulo oposto a esse cateto é de 60º;
• Pretende-se determinar o comprimento da hipotenusa.

Para resolver este problema, utilizaremos uma razão trigonométrica.

Hipotenusa: AC

Cateto adjacente: AB

Cateto oposto: BC = 5 cm

Pode-se usar as razoes seno ou cosseno. Mas, uma vez que conhecemos o valor do cateto oposto, a razão seno torna-se mais viável, assim sendo:

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2013 – 1ª época

6. As idades de 18 alunos da 10ª classe são: 15, 16, 15, 17, 16, 15, 16, 17, 15, 16, 15, 17, 16, 15, 16, 17, 15, 16.

a) Construa uma tabela de frequências (absoluta e relativa) para as idades.

b) Qual é a idade mediana dos alunos?

RESOLUÇÃO

Primeiramente, para construir uma tabela de frequências, devemos organizar os valores e contar quantas vezes cada um aparece. Em seguida, calculamos a frequência relativa dividindo cada frequência absoluta pelo total de dados.

Temos as idades de 18 alunos: 15, 16, 15, 17, 16, 15, 16, 17, 15, 16, 15, 17, 16, 15, 16, 17, 15, 16.

Vamos organizar os dados para facilitar a análise. A organização pode ser de forma crescente ou decrescente. Nesse exercício, optou-se pela organização crescente, resultando em:

15, 15, 15, 15, 15, 15, 15,

16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,

17, 17, 17, 17.

a) Tabela de frequências absoluta e relativa

1.º Passo: Identificar as idades diferentes

Observando os dados, verificamos que existem apenas três idades: 15, 16, 17

Portanto, vamos descobrir quantos alunos têm cada uma dessas idades.

2.º Passo: Contar a frequência absoluta

• 15 anos: 7 alunos
• 16 anos: 7 alunos
• 17 anos: 4 alunos

3.º Passo: Calcular a frequência relativa

A frequência relativa é calculada pela fórmula:

onde:

• f_r = frequência relativa;
• f = frequência absoluta;
• N = número total de alunos.

Como temos 18 alunos, calculamos:

• Para 15 anos, temos 7 alunos, logo, f = 7.

• Para 16 anos, temos 7 alunos, logo, f = 7.

• Para 17 anos, temos 4 alunos, logo, f = 4.

Assim, a tabela fica:

Idade (anos)	Frequência absoluta	Frequência relativa
15	7	0,3889
16	7	0,3889
17	4	0,2222
Total	18	1,0000

Além disso, a soma das frequências relativas deve ser sempre igual a 1.

b) Qual é a idade mediana dos alunos?

Por fim, para encontrar a mediana, devemos ordenar os dados; quando o número de dados é par, como neste exercício, calculamos a média dos dois valores centrais.

Primeiramente, precisamos organizar as idades por ordem crescente.

Como temos:

• 7 alunos com 15 anos;
• 7 alunos com 16 anos;
• 4 alunos com 17 anos;

a sequência ordenada é:

15, 15, 15, 15, 15, 15, 15,

16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,

17, 17, 17, 17.

Temos um total de: N = 18 alunos.

Como (18) é um número par, a mediana é a média dos dois valores centrais.

As posições centrais são:

A primeira Posição Central (P_C1) é o número que se encontra na posição 9. Para encontrar a segunda posição central, temos de fazer:

• P_C2 = P_C1 + 1

• P_C2 = 9 + 1

• P_C2 = 10

A segunda Posição Central (P_C2) é o número que se encontra na posição 10. Portanto, precisamos observar o 9.º e o 10.º valores.

Na sequência ordenada:

• 9.º valor = 16
• 10.º valor = 16

Então:

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2015 – 1ª época

7. Calcule os valores de p na equação x² – px + 24 = 0, de modo que a soma das raízes seja 2/3.

RESOLUÇÃO

Temos a equação: x² – px + 24 = 0. Sabemos que a soma das raízes deve ser: 2/3.

Para resolver, vamos utilizar as relações de soma, que são muito úteis nas equações do 2.º grau.

1.º Passo: Identificar os coeficientes

A forma geral de uma equação do 2.º grau é: ax² + bx + c = 0.

Comparando com: x² – px + 24 = 0

temos: a = 1, b = -p, c = 24

2.º Passo: Aplicar a relação da soma das raízes

Pelas relações, a soma das raízes é dada por:

Substituindo os valores dos coeficientes, sabendo que, a = 1 e b = -p:

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2017 – 1ª época

8. Quais das seguintes funções são quadráticas?

A. f(x) = 9 – 4x

B. g(x) = 4x² + 2x – 7

C. h(x) = √x + x²

D. f(x) = -5x²

RESOLUÇÃO

Vamos analisar cada função, passo a passo.

Primeiramente, procure o termo (x²). Depois, verifique se a função pode ser escrita na forma: ax² + bx + c, com a ≠ 0. Portanto, a simples presença de (x²) nem sempre é suficiente. É necessário que a função tenha a forma completa de uma função polinomial do 2.º grau.

1.º Passo: Relembrar o que é uma função quadrática

Uma função quadrática tem a forma: f(x)=ax² + bx + c, com a ≠ 0. Ou seja, para ser quadrática, a maior potência de (x) deve ser 2 e o coeficiente de x² deve ser diferente de zero.

2.º Passo: Analisar cada alternativa

A. f(x) = 9 – 4x

Podemos escrever: f(x) = -4x + 9 A maior potência de (x) é 1.

Portanto, é uma função afim, e não quadrática.

A não é quadrática.

B. g(x) = 4x² + 2x – 7

Aqui temos: g(x) = 4x² + 2x – 7. A maior potência de (x) é 2 e o coeficiente de (x²) é: a = 4 ≠ 0. Logo, esta função tem exatamente a forma de uma função quadrática.

B é quadrática.

C. h(x) = √x + x²

À primeira vista, aparece (x²). No entanto, a função também contém: √x que pode ser escrita como: x^½. Assim, a função não possui apenas termos da forma ax² + bx + c.

C não é uma função quadrática.

D. f(x) = -5x²

Podemos comparar com: f(x) = ax² + bx + c. Neste caso: a = -5, b = 0, c = 0 Como: a = -5 ≠ 0, a função é quadrática.

D é quadrática.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2019 – 1ª época

9. Encontre a expressão analítica da função quadrática cujo gráfico tem zeros em – 3 e 1, e passa pelo ponto (2, –5).

RESOLUÇÃO

Queremos encontrar a expressão analítica de uma função quadrática cujo gráfico:

• tem zero em (x = -3);
• tem zero em (x = 1);
• passa pelo ponto (2, -5).

1.º Passo: Usar os zeros da função

Os zeros da função são os valores de (x) para os quais, f(x)=0, ou seja, valores de x que cortam ou toca o gráfico. Sabemos que os zeros são: x₁ = -3 e x₂ = 1.

Quando conhecemos os zeros de uma função quadrática, podemos escrevê-la na forma fatorizada:

Repare que não temos o valor de a, logo, precisamos descobrir o valor de (a). A partir do ponto dado.

2.º Passo: Utilizar o ponto (2,-5)

O problema diz que o gráfico passa pelo ponto: (2,-5). Isso significa que, quando:

x = 2, temos: f(2) = -5. Então, substituímos (x = 2) na expressão:

3.º Passo: Escrever a função

Sabemos que: a = -1. Portanto:

Primeiramente, quando forem dados os zeros de uma função quadrática, escreva: f(x) = a(x – x₁)(x – x₂). Em seguida, utilize o ponto fornecido para descobrir o valor de (a). Por fim, substitua (a) na expressão e, se necessário, desenvolva os parênteses. Assim, mesmo que o valor de (a) seja desconhecido, conseguimos encontrar facilmente a função.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2020 – 1ª Chamada

10. Simplifique log₆³⁶ + log₆¹

RESOLUÇÃO

Queremos simplificar a expressão.

1.º Passo: Aplicar a propriedade dos logaritmos

Quando temos uma soma de logaritmos com a mesma base, podemos usar:

log_a^m + log_aⁿ = log_a^{(m ∙ n)}

Portanto:

Primeiramente, quando aparecem logaritmos com a mesma base e estão somando, podemos transformá-los num único logaritmo através da multiplicação. Depois, procuramos a potência que transforma a base no número indicado. Neste caso, como (6² = 36 e 6⁰ = 1).

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2022 – 1ª Chamada

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