Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2023 – 1ª Chamada

Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2023 – 1ª Chamada

1. Com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅, complete na sua folha de respostas os espaços em brancos de modo a obter proposições verdadeiras.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, lembre-se de que ∈ e ∉ são usados quando comparamos um número com um conjunto. Por outro lado, ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅, são usados quando comparamos dois conjuntos.

Assim sendo, Vamos analisar cada alternativa com atenção e escolher um dos símbolos:

a) π ∉ Q

Sabemos que π é um número cujo o valor é dado por, π = 3,14159265…. A representação decimal de π é infinita e não periódica. Portanto, π é um número irracional.

Portanto, os números irracionais não pertencem ao conjunto dos números racionais Q.

Dito isso, estamos analisando número (elemento) – conjunto. O sinal a se usar será um desses ∈ ou ∉. Mas, como os números irracionais não pertencem (∉) ao conjunto dos números racionais Q, usaremos o sinal ∉.

b) 7,52 ∈ R

O número 7,52 é um número decimal finito. Portanto, é um número racional. Entretanto, todo número racional também é um número real.

Mas uma vez, estamos analisando número 7,52 (elemento) e conjunto (R). O sinal a se usar será um desses ∈ ou ∉. Mas, todo número racional também é um número real, então, usaremos o sinal ∈.

c) Q ⊃ Z

Aqui estamos a comparar dois conjuntos:

• Q = conjunto dos números racionais;
• Z = conjunto dos números inteiros.

Sabemos que todo número inteiro é racional. Por exemplo: Portanto, os números inteiros estão contidos nos números racionais:

d) {9/3; √4; 3}  ⊂   R

Primeiramente, vamos simplificar os elementos do conjunto.

Primeiro elemento: 9/3 = 3

Segundo elemento: √4 = 2

Terceiro elemento: 3

Assim, o conjunto pode ser escrito como: {3, 2, 3}

Como num conjunto os elementos repetidos são considerados apenas uma vez: {2, 3}.

Agora, sabemos que: 2 ∈ R e também 3 ∈ R.

Portanto, todos os elementos do conjunto ({2,3}) pertencem a ∈ R. Logo: {9/3; √4; 3}  ⊂   R

Leia Sobre: Resolução de Exame de Matemática da 10ª Classe de 2020 – 1ª Chamada

2. A figura mostra a distribuição de alunos de uma certa escola que estudam as disciplinas de Língua Portuguesa (P), Língua Inglesa (I) e Matemática (M). Quantos alunos estudam:

a) Nesta escola?

b) Só Língua Portuguesa?

RESOLUÇÃO

Primeiramente, observe cada região do diagrama de Venn. Depois, para descobrir o total de alunos, some todas as regiões, porque cada número representa um grupo diferente de alunos. Por outro lado, quando a pergunta diz “só Português”, devemos considerar apenas a região exclusiva de P, ignorando as interseções com Matemática e Inglês.

A figura apresenta um diagrama de Venn com três conjuntos:

• P = alunos que estudam Língua Portuguesa;
• I = alunos que estudam Língua Inglesa;
• M = alunos que estudam Matemática.

Vamos interpretar cada região do diagrama.

Dados da figura

• Somente Matemática: 90
• Somente Português: 85
• Somente Inglês: 52
• Matemática e Português, mas não Inglês: 198
• Matemática e Inglês, mas não Português: 135
• Português e Inglês, mas não Matemática: 120
• As três disciplinas: 1030

a) Quantos alunos estudam nesta escola?

Para descobrir o número total de alunos da escola, devemos somar todos os alunos representados no diagrama.

Primeiramente, somamos os alunos que estudam apenas uma disciplina:

N₁ = 90 + 85 + 52

N₁ = 227

Em seguida, somamos os que estudam exatamente duas disciplinas:

N₂ = 198 + 135 + 120

N₂ = 453

Além disso, temos os alunos que estudam as três disciplinas:

N₃ = 1030

Portanto, somando tudo fica:

U = N₁ + N₂ + N₃

N = 227 + 453 + 1030

N = 1710​

Logo, nesta escola estudam 1710 alunos.

b) Quantos alunos estudam só Língua Portuguesa?

Agora devemos observar a região que pertence exclusivamente ao conjunto P.

No diagrama, essa região contém o número: 85

É importante não incluir os alunos que estudam Português juntamente com Matemática ou Inglês.

Portanto, 85​ alunos estudam só português.

3. Calcule o valor de m, de modo que o produto das raízes da equação 2x² – 6x + 3m + 2 = 0 seja igual a 5.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, identifique a, b e c. Em seguida, quando o exercício pedir a soma das raízes, use: S = x₁​ + x₂​    ou S = −b​/a

Quando pedir o produto das raízes, use: P = x₁ ∙ ​x₂​ ou P = c/a​.

Neste exercício, como conhecemos o produto, usamos diretamente P = c/a​, o que torna a resolução muito mais rápida.

Temos a equação: 2x² − 6x + 3m + 2 = 0

O problema pede o valor de m, sabendo que o produto das raízes é igual a 5.

1.º Passo: Identificar os coeficientes

A forma geral de uma equação do 2.º grau é: ax² + bx + c = 0

Comparando com: 2x² − 6x + 3m + 2 = 0

temos: a = 2; b = −6; c = 3m + 2

2.º Passo: Aplicar a relação do produto das raízes

Pela relação de produto das raízes é dado por:

4. Determine o conjunto solução da inequação 3x² – 5x + 2 < 0.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, encontre as raízes da equação associada. Em seguida, observe o sinal de (a): se (a>0), a parábola fica voltada para cima e é negativa entre as raízes. Por outro lado, se (a<0), a parábola fica voltada para baixo e é negativa fora das raízes.

Temos a inequação: 3x² – 5x + 2 < 0

Precisamos encontrar os valores de (x) para os quais essa expressão é negativa.

1.º Passo: Identificar os coeficientes

A forma geral de uma equação do 2.º grau é: ax² + bx + c = 0

Comparando com: 3x² – 5x + 2 = 0

temos: a = 3, b = -5, c = 2

2.º Passo: Encontrar as raízes

Primeiramente, vamos resolver a equação associada: 3x² – 5x + 2 = 0

Para encontrar as raízes, calculamos o discriminante (Delta):

Agora usamos a fórmula resolvente:

3.º Passo: Analisar o sinal da função

Temos: a = 3, então (a > 0). Portanto, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

As raízes são: x₁ = 2/3 e x₂ = 1

Quando a parábola tem concavidade para cima, ela fica abaixo do eixo (x) entre as duas raízes.

Como a inequação pede: 3x² – 5x + 2 < 0, devemos escolher justamente o intervalo onde a função é negativa. Portanto, a função é negativa os extemos da parábola.

Sol: x ∈ R ]2/3; 1[

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5. Resolva a equação log_x ⁴ = 2, sabendo que x ϵ R⁺/{1}.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, lembre-se da relação: log_a^b = c ↔ a^c = b

Em seguida, transforme o logaritmo em uma equação exponencial. Por fim, verifique as condições da base do logaritmo: ela deve ser positiva e diferente de 1.

Temos a equação: log_x⁴ = 2

Sabemos que: x ∈ R⁺/{1}

Ou seja, (x) deve ser positivo e diferente de 1.

1.º Passo: Transformar a forma logarítmica em forma exponencial

Lembramos que: log_a^b = c

é equivalente a: a^c = b

Portanto, na nossa equação: log_x⁴ = 2

temos: x² = 4

2.º Passo: Resolver a equação

Agora precisamos encontrar os valores de (x) que satisfazem:

3.º Passo: Considerar a condição do logaritmo

Entretanto, o enunciado informa que: x ∈ R⁺/{1}

Isso significa que a base do logaritmo deve ser positiva.

Assim, o valor: x = -2 não é permitido.

Portanto:

Sol: x = 2

6. Sendo log₃ ^a + log₃ ^b = 2, calcule o valor de a x b.

RESOLUÇÃO

Primeiramente, quando aparecer uma soma de logaritmos com a mesma base, lembre-se de que podemos juntá-los através da multiplicação:

log_a​^x + log_a​^y = log_a^​(xy)

Em seguida, transforme o logaritmo em uma potência. Por fim, calcule a potência para encontrar o resultado.

Temos: log_3​^a + log₃​^b = 2

Pretendemos calcular o valor de: a × b

1.º Passo: Aplicar a propriedade da soma de logaritmos

Quando temos dois logaritmos com a mesma base, podemos usar a propriedade:

log_a​^x + log_a​^y = log_a^​(xy)

Assim:

log₃^​a + log₃​^b = log₃^​(ab)

Portanto, a equação transforma-se em: log₃^​(ab) = 2

2.º Passo: Transformar em forma exponencial

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7. Determine o valor de cos(x), sabendo que 5sen(x) = 4 e x ϵ 1º Q (primeiro quadrante).

RESOLUÇÃO

Primeiramente, encontre o valor do seno. Em seguida, utilize a relação fundamental. Por fim, observe o quadrante para escolher o sinal correto. Neste caso, como (x) está no 1.º quadrante, o cosseno é positivo.

Temos: 5sen(x) = 4 e sabemos que: x ϵ 1º Q quadrante.

Pretendemos determinar: cos(x)

1.º Passo: Determinar o valor de sen(x)

2.º Passo: Utilizar a relação fundamental da trigonometria

Mas ainda precisamos decidir se usamos o sinal + ou −.

5.º Passo: Considerar o 1.º quadrante

O enunciado informa que (x) pertence ao 1.º quadrante.

No 1.º quadrante, tanto o seno como o cosseno são positivos.

Portanto, descartamos o valor negativo:

8. Calcule o valor de y na equação tg(3y) = cotg(y/3), sabendo que os ângulos são complementares.

RESOLUÇÃO

Temos a equação:

O enunciado informa que os ângulos são complementares. Primeiramente, lembre-se de que dois ângulos são complementares quando a sua soma é 90º.

1.º Passo: Recordar a relação entre tangente e cotangente

Sabemos que:

Além disso, existe uma relação muito importante entre ângulos complementares:

2.º Passo: Substituir os valores de alfa (α) e calcular a igualdade

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 9. Considere a função f(x) = 2^x + 2 e determine a:

a) Equação da assímptota;

b) Variação da função (monotonia). Justifique a resposta.

RESOLUÇÃO

a) Equação da assímptota

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma assímptota na prática. Imagine uma “linha invisível” ou um “chão” de que o gráfico chega muito, muito perto, mas nunca consegue tocar ou atravessar.

Sendo assim, vamos olhar para a parte exponencial da nossa função: o 2^x. Pense comigo: não importa qual valor negativo gigante você coloque no lugar do x (por exemplo, 2^-100), o resultado será um número minúsculo (0,0000…), quase zero, mas nunca será exatamente zero.

Por consequência, se o pedaço 2^x se aproxima de zero mas nunca chega lá, a nossa função inteira, que é f(x) = 2^x + 2, vai se aproximar de 0 + 2, mas nunca vai dar exatamente 2.

Portanto, a nossa assíntota é uma linha horizontal que passa bem em cima do número 2 no eixo vertical.

A equação da assímptota é y = 2.

b) Variação da função (monotonia). Justifique a resposta.

Em seguida, precisamos avaliar a monotonia. Isso significa descobrir se o gráfico da função está sempre subindo (crescente) ou sempre descendo (decrescente) quando olhamos da esquerda para a direita. Para isso, o grande segredo em qualquer função exponencial é olhar para a base (o número que fica embaixo elevando o x). Na função y = 2^x + 2, a nossa base é o número 2.

Visto que a base 2 é um número maior do que 1, quando aumentamos o valor de x consequentemente, a função não para de crescer.

A função é estritamente crescente.

10. Seja g(x), o gráfico representado pela figura. Determine:

a) O contradomínio da função;

b) A expressão analítica da função.

RESOLUÇÃO

Observe atentamente o gráfico. Temos uma parábola com concavidade voltada para cima.

Pelo gráfico, podemos identificar dois pontos muito importantes:

• O vértice é (V(2,1));
• A parábola passa pelos pontos (0,5) e também pelo ponto (4,5).

a) Contradomínio da função

1.º Passo: Observar o ponto em y onde o gráfico cresce

No gráfico, o ponto mais baixo da parábola é: V(2,1) Portanto, o menor valor que a função pode assumir é: y = 1. Alem disso contrarioo são valores de y onde a parábola é crescente.

Assim:

Logo, o contradomínio é:

C_D = y ∈ IR [y_v,+∞[ → C_D = y ∈ IR [1,+∞[

b) Expressão analítica da função

Como temos uma função quadrática e conhecemos o seu vértice V(2,1), vamos utilizar a forma canónica:

1.º Passo: Utilizar um ponto conhecido

Pelo gráfico, sabemos que a parábola passa pelo ponto: (0,5) Isso significa que: x = 0 e g(0) = 5. Substituímos esses valores na expressão:

3.º Passo: Escrever a função

Como (a = 1), temos:

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