Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2012 – 2ª época

Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2012 – 2ª época

1. Calcule o valor numérico das seguintes expressões:

Resolução

Observe que temos duas bases iguais (1/2) e com expoentes diferentes, uma vez que essas bases estão dividindo entre si, então apliquemos aquela propriedade que diz:

• Quando temos bases iguais, e expoentes diferentes estando elas a dividir, vamos mater apenas uma base e subtrair os seus expoentes, ficando dessa forma:

Chegado a este ponto, temos agora, bases diferentes, e expoentes iguais, assim sendo, vamos multiplicar as bases e manter o expoente, resultando em:

Resolução

Estamos perante ao terceiro caso notável, onde:

Aplicando esse teorema no exercício em questão, terá como resultado:

Resolução

Para a resolução desse exercício, é fundamental que você conheça as regras dos logaritmos, se o logaritmando de um logaritmo tiver expoente, então o expoente passa a multiplicar com todo o logaritmo, e note que 9 corresponde a 3², ficando dessa forma:

Chegado a este ponto, temos dois logaritmos por resolver, e esses logaritmos pode-se resolver sem muito esforço, pois são bastantes elementares.

Substituindo esses valores na equação acima temos:

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2012 – 1ª época

2. Considere os seguintes polinómios:

Resolução

a) 2A(x) + B(x)

O polinómio A(x), deve ser multiplicado por 2, devido o coeficiente 2 que está multiplicando o polinómio, dessa forma temos:

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no polinómio A(x), temos:

Agora vamos agrupar as parcelas em termos semelhantes, respeitando o sinal de cada parcela, dessa forma, resulta em:

As parcelas -4x e 1/2x possuem a mesma variável, vamos então determinar o mmc, só entre eles, afim de termos os mesmos denominadores, tendo os mesmos denominadores, opera-se os numeradores e mantendo o denominador, assim temos:

b) A(x) • C(x)

Agora temos a missão de multiplicar o polinómio A(x) e o monómio C(x), sendo o polinómio A(x), complexo, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação, dessa maneira, temos:

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe 1ª Época do ano de 2019

3. Considere a equação 3x² – (m + 1)x + m – 2 = 0. Determine o valor de m de modo que:

a) A equação tenha duas raízes reais iguais.

b) O produto das raízes seja igual a 3/2.

Resolução

a) A equação tenha duas raízes reais iguais.

A equação dada, é uma equação paramétrica do segundo grau, ou seja, é uma equação quadrática, e para que uma equação quadrática tenha raízes reiais iguais, o valor de delta deve ser igual a zero (Δ = 0).

Vamos então, antes identificar os valores dos coeficientes:

Partindo da definição (Δ = 0) e sabendo que Δ = b² – 4ac, tem-se:

Nota: (- m – 1) ² = (- m – 1) (- m – 1)

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação temos:

Organizando em termos semelhantes, resulta em:

Resultou numa nova equação quadrática em função de m, com novos coeficientes, que são:

a = 1;    b = – 10;   e c = 25.

Agora vamos determinar os valores m para que a equação tenha raízes reiais e iguais, para isso vamos determinar o valor de delta, ou seja, o novo valor de delta.

Olha que no final das contas o valor de delta acabou dando 0, provando assim que os nossos cálculos estão certo, então uma vez que delta é igual a zero, então m₁ = m₂, ou seja, tem raízes reais e iguais, dessa forma, podemos apenas calcular o um valor de m.

Sol: m ∈ R {5}

Para que a equação tenha duas raízes reais e iguais, o valor de m deve ser igual a 5.

b) O produto das raízes seja igual a 3/2.

O produto de uma equação quadrática é dado pela seguinte equação:

Vamos então, antes identificar os valores dos coeficientes:

Veja também: Resolução de Exame de Matemática da 10ª Classe de 2020 – 1ª Chamada

4. Resolva:

Resolução

Estamos perante a uma equação biquadrática, e para podermos resolver, vamos antes transformar essa equação numa equação quadrática, pelo método de substituição.

Pela propriedade de potenciação é aceitável o seguinte: x⁴ = x² • x² = (x²)²

Agora vamos fazer a seguinte substituição, seja x² = k, desse modo, para todo valor de x², vamos substituir por k, assim ficando:

Resultou numa equação em ordem a k, então vamos calcular os valores de k, ou seja, as suas raízes.

Vamos então, antes identificar os valores dos coeficientes:

E sabendo que Δ = b² – 4ac, tem-se:

Uma vez que delta é igual a zero, então temos duas raízes reais e iguais, ou seja, k₁ = k₂, ou simplesmente k, visto que k₁ e k₂ terão os mesmos valores.

Até agora, nós apenas calculamos o valor de k, mas a equação principal, foi dada em função de x, então devemos calcular o valor x, pois os valores de x que serão a solução da equação. Para termos os valores de x, vamos recorrer a substituição feita anteriormente, para x² = k, assim sendo, vamos substituir o valor de k por 4 (k = 4), desse modo teremos:

Sol: x ∈ {-2; 2}

A inequação acima, é linear, sendo linear resolve-se aplicando as regras de uma equação linear, ou seja, equação do 1º grau, então tem-se:

• Primeiro vamos passar tudo que tem letra (variável) para o 1º membro e o que não tem letra para o 2º membro, na transição de um membro para outro, ocorre também com mudança de sinal.

Resolve-se os termos semelhantes, para esse caso em concreto vamos determinar o mmc, lembrando que todo número não fraccionário, tem 1 como denominador.

Representando a solução no eixo graduado para x ≥ 2, uma vez que a desigualdade é maior ou igual, terá uma bolinha pintada (cheia) e intervalo fechado no início e aberto no final, dessa forma tem-se:

Sol: [-2; +∞[

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2011 – 2ª época

5. Seja U = {a, b, c, d, e, f, g} o universo dos conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f}.
Determine:

a) A∩ B

b) B \ A

Resolução

a) A ∩ B

Conhecidos os conjuntos A e B, vamos determinar a intersecção entre esses dois conjuntos, ou seja, elementos que A tem que são iguais aos elementos de B.

Então, podemos escrever de seguinte modo:

A ∩ B = {c, d}

b) B \ A

Temos de encontrar todos elementos que B tem e A não tem.

B \ A = {e, f}

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2013 – 1ª época

6. Considere o gráfico abaixo:

a) Qual é o domínio e o contradomínio da função?

b) Quais são as coordenadas do vértice?

c) Escreva a equação do eixo de simetria.

d) Faça o estudo da variação do sinal da função

Resolução

a) Qual é o domínio e o contradomínio da função?

Domínio: Todo conjunto dos números reais R.

Contradomínio: Verifica-se na parte crescente do gráfico, no eixo y, então, CD = ] – ∞; 4]

b) Quais são as coordenadas do vértice?

As coordenadas do vértice, verifica-se no ponto onde a parábola inverte de sentido.

x_v = 2

y_v = 4

C_v (2;4)

c) Escreva a equação do eixo de simetria.

É o ponto onde o gráfico divide-se em duas partes iguais, assim sendo, é o ponto x = 2.

d) Faça o estudo da variação do sinal da função.

x	] – ∞; 0[	0	] 0; 4[	4	] 4; +∞ [
y	__	0	+	0	__

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2015 – 1ª época

7. Observe atentamente a figura e calcule:

a) A altura (h).

b) A sua área.

Resolução

a) A altura (h).

A altura h, encontra-se no centro do triângulo, então podemos tecer alguns pontos:

Então;

O triângulo ACD é um triângulo rectângulo, então podemos aplicar teorema de Pitágoras.

b) A sua área.

Extraindo os dados do triângulo temos:

A partir dos dados acima, podemos determinar a área do triângulo usando a fórmula para cálculo da área.

Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2011 – 1ª época

8. Nas eleições municipais estavam inscritos 4000 eleitores, dos quais 34% votaram no partido A, 1200 no partido B, 10% abstiveram-se e os restantes votaram no partido C. Determine:

a) O número de eleitores que votaram no partido A.

b) A percentagem de eleitores que votaram no partido B.

c) O número de eleitores que votaram no partido C.

Resolução

Ao todo, ou seja, o universo dos inscritos foram 4000 eleitores, isto é U = 4000.

Dentre esse universo U, 34% votaram no partido A, isto é A = 34%.

Ainda dentro do universo U, 1200 votaram no partido B, isto é B = 1200.

E também existem um grupo que não votou, sendo apenas 10%, isto é NV = 10%.

Os restantes, o número de eleitores que restaram dentro do universo U, votaram no partido C, isto é C = ? Porque não se sabe quantos foram os restantes.

a) O número de eleitores que votaram no partido A.

Dentre esse universo U, 34% votaram no partido A, isto é A = 34%, então temos:

b) A percentagem de eleitores que votaram no partido B.

Ainda dentro do universo U, 1200 votaram no partido B, isto é B = 1200, para o cálculo de percentagem, temos o seguinte:

c) O número de eleitores que votaram no partido C.

O número de eleitores do partido A é 1360, que corresponde a 34%

Votaram no partido B 1200 eleitores, que corresponde a 30%

E também existem um grupo que não votou, sendo apenas 10%, isto é NV = 10%.

Os restantes, o número de eleitores que restaram dentro do universo U, votaram no partido C, isto é C = ?

Sabendo de antemão que o somatório das percentagens deve ser sempre igual a 100%, a partir desse conceito, temos:

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2022 – 1ª Chamada

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