Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe 1ª Época do ano de 2019
1. Com os símbolos ∈, ∉, =, ⊂, ⊃ ou ⊄ complete na sua folha de respostas de modo a obter afirmações verdadeiras:
a) {0; 1} …. [0; 1[
b) -3 …. Q
c) 1, 435 …. N
d) R0+ ∩ R0– ….. {0}
Resolução
Antes de preencher os espaços em brancos, é importante perceber, o que cada símbolo significa e o onde aplicar esses símbolos.
∈ e ∉: Significa pertence e não pertence respectivamente, são usados na relação entre elemento-conjunto.
=: Significa igual, e são usados na relação entre objectos iguais ou equivalente, ou seja, relação entre número-número, conjunto-conjunto ou intervalo-intervalo.
⊂e⊄: Significa contém e não contém respectivamente, e representa a relação Entre dois conjuntos.
⊃: Significa esta contido e representa a relação entre dois conjuntos.
a) {0; 1} ⊄ [0; 1[
Comentário da resolução
Olha que {0;1} representa um conjunto de apenas dois elementos, enquanto [0,1[, representa um intervalo com todos os números possíveis menores que 1. Logo o conjunto {0;1} não contem [0;1[.
b) -3 ∈ Q
Comentário da resolução
O conjunto dos números racionais Q, corresponde geralmente a valores na forma fraccionária, mas também esta incluso os números inteiros, seja eles, positivo ou nugativo. Então, sendo -3 um elemento e Q um conjunto, então estamos na relação elemento-conjunto, daí que usamos os símbolo de pertence ∈.
c) 1, 435 ∉ N
Comentário da resolução
O conjunto dos números naturais N, apenas alberga todos números inteiros e positivos. Mas repare que 1,435 é um número decimal, logo não pertence.
d) R0+ ∩ R0– = {0}
Comentário da resolução
O conjunto dos números reais negativos incluindo o zero R0–, corresponde a todos os números desde menos infinito (-∞) até zero (0), enquanto o conjunto dos números reais positivos incluindo o zero R0+, corresponde a todos os números, desde zero (0) até ao mais infinito (+∞). Olha que a única relação entre esses dois conjuntos é o zero, então a reunião ou união entre esses dois conjuntos é o zero.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2011 – 1ª época
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Dois planos distintos, paralelos, têm um ponto comum.
b) Se uma recta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
c) Se duas rectas são ortogonais, então elas formam um ângulo recto.
d) Se duas rectas são perpendiculares, então elas formam um ângulo recto.
Resolução
a) Dois planos distintos, paralelos, têm um ponto comum. F
Comentário da resolução
Se dois planos são paralelos, então não existe interseção entre eles. Uma forma simples de analisar basta apenas observar as duas linhas feerias, elas são paralelas e nunca se cruzam. Portanto, a afirmativa é FALSA.
b) Se uma recta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. F
Comentário da resolução
Se uma recta é paralela a dois planos, então não necessariamente esses planos são paralelos. Os planos podem ser concorrentes. A afirmativa é FALSA.
c) Se duas rectas são ortogonais, então elas formam um ângulo recto. V
Comentário da resolução
Rectas ortogonais são rectas reversas, ou seja, não são complanares. Além disso, elas formam um ângulo recto. A afirmativa é VERDADEIRA.
d) Se duas rectas são perpendiculares, então elas formam um ângulo recto.
Comentário da resolução
Se as duas rectas são perpendiculares entre si, então o ângulo formado entre elas é 90º. A afirmativa é VERDADEIRA.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2022 – 1ª chamada
3. Resolva:
a) 2senx = √2, para x ∈ [0o; 90º]
b) log1/3 (2x + 1) – log1/3 x = 0
Resolução
a) 2senx = √2, para x ∈ [0o; 90º]
Para a resolução de equações trigonométricas, é quase similar que a resolução de equações lineares, a diferença é que o resultado dá-se em graus ou radianos. Ademais, é importante verificar o intervalo que o angulo x deve pertencer, para o caso desse exercício o ângulo x, deve estar entre 0o à 90º, dessa forma a resolução fica:
Olha que 45º, está dentro do intervalo de 0o à 90º.
b) log1/3 (2x + 1) – log1/3 x = 0
Quando os logaritmos têm as mesmas bases, então pode-se simplesmente, ignorar as bases e apenas manter os logaritmandos. Mas antes disso, deve-se calcular o domínio de existência do logaritmo, onde o logaritmando deve ser sempre positivo, ou seja, maior que 0, dessa forma temos:
Vamos representar essas a solução encontrada (x = -1) e as condições de existência (x > -1/2 e x > 0) num intervalo numérico, dessa forma fica:
Repare que o valor da solução x = -1, esta fora do ponto de intersecção do domínio de existência, logo esse valor não faz parte da solução, consequentemente esse logaritmo não tem solução, ou seja, a solução é conjunto vazio.
Sol: { }.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2015 – 1ª época
4. Dada a equação x2 – 4x + (5 – m) = 0. Determine m de modo que a equação admita duas reais de sinais contrários.
Resolução
O valor de delta, apresenta diferentes condições, e para que uma equação quadrática apresente duas raízes reais (x1 e x2), o valor de delta deve ser positivo, ou seja, maior que zero, matematicamente escreve-se ∆ > 0. Mas essa não é a única condição, para além de ter raízes reais, também deve ter raízes com sinais contrários, ou seja, uma raiz deve ser positiva (+), e outra negativa (-), consequentemente o produto (multiplicação) dessas raízes, será negativa, ou seja, P < 0. Então juntando essas duas condições, para os valores de a = 1, b = -4 e c = 5 – m, temos:
Representando essas duas soluções no intervalo gráfico, podemos determinar a solução, de referir que a solução encontra-se onde os dois eixos se cruzam, isto é, onde se intercetam, dessa forma temos:
Note que se interceptam, no a partir do ponto 5 a mais infinito, então essa é a solução, ficando desse modo:
Sol: m ∈ R ]5; +∞[
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2013 – 1ª época
5. Resolva em R: x4 – 4x2 = 0
Resolução
O expoente máximo dessa equação é o 4, então é uma equação biquadrática, ou seja, uma equação do 4º grau. Mas nota-se que essa equação é incompleta, dai que podemos optar por diversos métodos de resolução.
6. Considere a função f, representada pelo gráfico da figura ao lado. Pela leitura do gráfico, determine:
a) O domínio da função.
b) A variação do sinal da função, no intervalo ]1;3[.
c) A expressão analítica de f.
d) Os valores os quais f(x) ≤ 0.
e) Os intervalos de monotonia da função.
Resolução
a) O domínio da função.
O gráfico representa uma função quadrática, e uma função quadrática, por definição tem o domínio R, ou seja, Df = ∈ R.
b) A variação do sinal da função, no intervalo ]1;3[.
O intervalo de ]1;3[, deve-se verificar no eixo dos x, mas observa que do intervalo ]1;2[, a função está na parte de baixo, logo é negativa. Contrariamente do intervalo ]2;3[ a função está na parte de cima, logo é positiva.
c) A expressão analítica de f.
O gráfico tem como raízes, isto é, zeros da função x1 = 0 e x2 = 2, assim como um ponto onde x = 3 e y =3, a partir desses dados pode-se determinar a expressão analítica desse jeito:
d) Os valores os quais f(x) ≤ 0.
As vezes parece complicando quando aparece dessa forma f(x) ≤ 0. Mas em outra linguagem isso quer dizer que, quais são os valores de f(x) em que são menores ou iguais a 0. Para isso é só olharmos no gráfico dado, ou também através da expressão analítica.
Mas vamos pelo gráfico, olha que quando x = 0, y = f(0) = 0; e quando x = 1, y = f(1) = -1; se x = 2, y = f(2) = 0, mas quando x = 3, y = f(3) = 3. Olha que os valores de x em que a função é menor ou igual a zero esta entre 0 e 2, porque já no ponto x =3, f(3) = 3 e esse valor é maior que zero, dai a solução será simplesmente x = [0; 2].
Outra forma alternativa de analisar, f(x) ≤ 0. Implica a parte negativa do gráfico, olhando atentamente o gráfico, a parte negativa vai do ponto x = 0 até x = 2. Então essa é a solução, x = [0; 2].
e) Os intervalos de monotonia da função.
A monotonia, corresponde as regiões em que um gráfico é crescente ou decrescente, para isso com auxílio de uma tabela podemos analisar os intervalos da monotonia.
7. Para a eleição do chefe de uma turma, candidataram-se cinco alunos. O gráfico a seguir mostra os resultados do processo de votação.
a) Quantos alunos participaram da votação?
b) Quantos alunos votaram no(a) vencedor(a)?
c) Qual é o nome do(a) vencedor(a)?
d) Determine a percentagem de votos do(a) segundo(a) classificado(a).
Resolução
a) Quantos alunos participaram da votação?
Participaram da votação 5 alunos nomeadamente: Dinis, Nely, Marta, Zeca e Abel.
b) Quantos alunos votaram no(a) vencedor(a)?
Votaram no vencedor 20 alunos.
c) Qual é o nome do(a) vencedor(a)?
O nome do vencedor é Nely, pois teve maior número de votos.
d) Determine a percentagem de votos do(a) segundo(a) classificado(a).
Primeiramente vamos calcular o número total de votos que teve o processo de eleição do chefe de turma.
No Votos = 5 + 10 + 10 + 15 + 20
No Votos = 60 votos
O segundo classificado que o Abel, teve 15 votos, então a sua percentagem é:
Veja também: Resolução de Exame de Matemática da 10ª Classe de 2020 – 1ª Chamada