Resolução de Exercícios sobre Módulo
Parte – I (Exercícios 1 – 4)
1. Associa V ou F as seguintes proposições:
1.1. |–9| = 9
Módulo de qualquer número seja ele negativo ou positivo, o seu valor absoluto, será sempre positivo, então é verdadeira (V).
1.2. |7 – 9| = 9 – 7
Antes de tudo vamos realizar algumas operações básicas:
| 7 – 9| = | – 2| = 2
9 – 7 = 2
Então, |7 – 9| = 9 – 7, pois tem o mesmo valor absoluto (2). Desse modo a afirmação é verdadeira (V).
1.3. | –8| = –(–8)
Isso está bastante claro que a proposição é verdadeira, se não entendeu, calma aí, vou já lhe explicar:
Observa só |– 8| = 8; assim como –(–8) = 8. Agora vens que temos o mesmo valor absoluto que é 8, dessa forma a afirmação é verdadeira (V).
1.4. |2/3| = –2/3
Lembra-se sobre as propriedades e das condições de existências dos módulos? Pois é.
Mas a questão aqui é seguinte, o valor absoluto de um módulo, nunca deve negativo, e observe que nesse exercício o valor absoluto é negativo, pela condição de existência diz que a ≥ 0, dessa forma a proposição é Falsa (F).
1.5. |7 – 9| = 7 – 9
Assim como nas alíneas acimas, vamos tentar resolver de forma semelhante, resolvendo de uma separada:
|7 – 9| = |–2| = 2
7 – 9 = –2
Esses dois valores são diferentes (2 ≠ –2), logo a afirmação é Falsa (F).
2. Indica o módulo dos seguintes números:
2.1. | –8|
2.2. |-5 + 9|
2.3. |8 – 10|
2.4. |5 – 9|
Lembre-se que o valor absoluto de qualquer módulo, sempre será positivo, desse modo, deve-se colocar os números na forma na qual, o resultado ser positivo.
2.1. | –8| = 8
2.2. |-5 + 9| = 9 – 5
2.3. |8 – 10| = 10 – 8
2.4. |5 – 9| = 9 – 5
3. Verifica as propriedades 2, 3 e 4 da secção 1.2 por meio de tabelas.
Propriedade: |x – y| ≥ ||x| – |y||
| Caso | Sinal de x | Sinal de y | |x – y| | ||x| – |y|| | Resultado |
| 1 | x ≥ 0 | y ≥ 0 | |x – y| | |x – y| | = |
| 2 | x ≤ 0 | y ≤ 0 | |x – y| | |x – y| | = |
| 3 | x ≥ 0 | y ≤ 0 | |x + |y|| | |x – |y|| | ≥ |
| 4 | x ≤ 0 | y ≥ 0 | ||x| + y| | ||x| – y| | ≥ |
x ≥ 0, são valores positivos de x.
x ≤ 0, são valores negativos de x.
y ≥ 0, são valores positivos de y.
y ≤ 0, são valores negativos de y.
Explicação dos Casos
Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0
|x| = x
|y| = y
Logo:
||x| – |y|| = |x – y|
Temos igualdade.
Caso 2: x ≤ 0 e y ≤ 0
|x| = – x
|y| = – y
||x| – |y|| = |–x – (–y)| = |y – x| = |x – y|
Também há igualdade.
Caso 3: x ≥ 0 e y ≤ 0
|x – y| = |x + |y||
||x| – |y|| = |x – |y||
Sabemos que:
|x + |y|| ≥ |x – |y||
Caso 4: x ≤ 0 e y ≥ 0
Situação semelhante ao caso 3.
Também resulta:
|x – y| ≥ ||x| – |y||
Propriedade: |x · y| = |x| · |y|
| Caso | Sinal de x | Sinal de y | x·y | |x·y| | |x|·|y| | Resultado |
| 1 | x ≥ 0 | y ≥ 0 | positivo | x·y | x·y | = |
| 2 | x ≥ 0 | y ≤ 0 | negativo | -(x·y) | x·(-y) | = |
| 3 | x ≤ 0 | y ≥ 0 | negativo | -(x·y) | (-x)·y | = |
| 4 | x ≤ 0 | y ≤ 0 | positivo | x·y | (-x)(-y) | = |
Explicação dos Casos
Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0
|x| = x
|y| = y
Logo:
|x·y| = x·y
|x|·|y| = x·y
Iguais
Caso 2: x ≥ 0 e y ≤ 0
|x| = x
|y| = -y
Produto x·y é negativo.
|x·y| = -(x·y)
|x|·|y| = x·(-y) = -(x·y)
Iguais
Caso 3: x ≤ 0 e y ≥ 0
|x| = -x
|y| = y
Produto é negativo.
|x·y| = -(x·y)
|x|·|y| = (-x)·y = -(x·y)
Iguais
Caso 4: x ≤ 0 e y ≤ 0
|x| = -x
|y| = -y
Produto é positivo.
|x·y| = x·y
|x|·|y| = (-x)(-y) = x·y
Iguais
Propriedade: |x/y| = |x|/|y| (com y ≠ 0)
| Caso | Sinal de x | Sinal de y | x/y | |x/y| | | |x|/|y| | Resultado |
| 1 | x ≥ 0 | y > 0 | positivo | x/y | x/y | = |
| 2 | x ≥ 0 | y < 0 | negativo | -(x/y) | x/(-y) | = |
| 3 | x ≤ 0 | y > 0 | negativo | -(x/y) | (-x)/y | = |
| 4 | x ≤ 0 | y < 0 | positivo | x/y | (-x)/(-y) | = |
Caso 1: (x ≥ 0) e (y > 0)
Sinal de (x/y): positivo
|x/y| = x/y
|x| = x
|y| = y
|x|/|y| = x/y
Portanto: |x/y| = |x/y|
Caso 2: (x ≥ 0) e (y < 0)
Sinal de (x/y): negativo
|x/y| = -x/y
|x| = x
|y| = -y
|x|/|y| = x/(-y)
Como:-x/y = x/(-y)
Logo: |x|/|y| = |x|/|y|
Caso 3: (x ≤ 0) e (y > 0)
Sinal de (x/y): negativo
|x/y| = -x/y
|x| = -x
|y| = y
|x|/|y| = -x/y
Como:-x/y = -x/y
Logo: |x/y| = |x|/|y|
Caso 4: (x ≤ 0) e (y < 0)
Sinal de (x/y): positivo
|x/y|= x/y
|x| = -x
|y| = -y
|x|/|y| = -x/-y
Como:-x/-y = x/y
Logo:|x/y| = |x|/|y|
4. Calcula, geometricamente, os seguintes módulos:
4.1. |-5 + 4|
4.2. |3 + 5|
4.3. |8 – 4|
4.4. |-2 – 3|
Para calcularmos as distâncias dos módulos, usaremos a fórmula para o cálculo da distância, |x – y| = d(x,y).
Leia Sobre: Interpretação geométrica do módulo.
4.1. |-5 + 4|
Pontanto, a partir da fórmula acima, fica evidente que x = -5 e y = – 4, ficando dessa forma: |-5 + 4| = d(-5,-4).
|-5 + 4| = 1
4.2. |3 + 5|
Pontanto, a partir da fórmula acima, fica evidente que x = 3 e y = – 5, ficando dessa forma: |3 + 5| = d(3,-5).
|3 + 5| = 8
4.3. |8 – 4|
Pontanto, a partir da fórmula acima, fica evidente que x = 8 e y = 4, ficando dessa forma: |8 – 4| = d(8,4).
|8 – 4| = 4
4.4. |-2 – 3|
Pontanto, a partir da fórmula acima, fica evidente que x = -2 e y = 3, ficando dessa forma: |-2 – 3| = d(-2,3).
|-2 – 3| = 5
