RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025

RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025

PARTE II (QUESTÃO 9 – 16)

9. Um código numérico contem quatro dígitos. Quantos números de quatros dígitos existem?

A. 40        B. 400         C. 40000         D. 8000        E. 10000

Resolução

Passo 1: Analisar cada posição do código

Um código com 4 dígitos pode usar qualquer algarismo de 0 a 9 em cada posição.

Por exemplo:

• 1ª posição: 10 possibilidades (0, 1, 2, …, 9)
• 2ª posição: 10 possibilidades (0, 1, 2, …, 9)
• 3ª posição: 10 possibilidades (0, 1, 2, …, 9)
• 4ª posição: 10 possibilidades (0, 1, 2, …, 9)

Passo 2: Aplicar o princípio multiplicativo

Uma vez que em cada uma das quatros posições há 10 possiblidades, o número total de códigos é:

N = 10 × 10 × 10 × 10

N = 10000

Alternativa E.

10. Quantas palavras, com ou sentido, podem escrever-se usando as letras da palavra LÁPIS, terminadas em 3 consoantes?

A. 6        B. 5!         C. 2! x 3!          D. A⁵₃          E. 10

Resolução

As letras da palavra LÁPIS são: L, Á, P, I, S

Temos:

• Consoantes: L, P, S → 3 consoantes
• Vogais: Á, I → 2 vogais

Passo 1: Interpretar a condição

A palavra formada deve terminar em 3 consoantes.

Logo, as três últimas posições devem ser ocupadas por: L, P, S

Essas três consoantes podem ser organizadas que podem ser permutadas entre si: 3! = 6 formas.

Passo 2: Preencher as duas primeiras posições

Restam as duas vogais: Á, I

Elas podem ocupar as duas primeiras posições, permutando entre si: 2! = 2 formas.

Passo 3: Aplicar o princípio multiplicativo

Número total de palavras:

N = 2! × 3!

N = 2 × 6

N = 12

Alternativa C

11. De quantas formas diferentes podem sentar-se cinco pessoas numa fila de 8 lugares?

A. 5⁸     B. A⁸₅ x 3     C. C⁸₅ x 3!      D. A⁸₅ x A⁸₃     E. C⁸₅ x 5!

Resolução

A princípio não existe nenhum padrão a seguir para a sentar-se assim, assim sendo, estamos perante a uma combinação.

Passo 1: Entender o problema

Temos:

• 8 lugares em fila;
• 5 pessoas distintas;
• 3 lugares ficarão vazios.

Primeiro escolhemos os 5 lugares que serão ocupados.

O número de maneiras de escolher 5 lugares entre 8 é:  C⁸₅

Passo 2: Distribuir as 5 pessoas nos lugares escolhidos

Depois de escolhidos os 5 lugares, as 5 pessoas podem ser arrumadas nesses lugares permutando entre si:5! formas.

Passo 3: Aplicar o princípio multiplicativo

N = C⁸₅ x 5!

Alternativa E

12. Uma caixa contém bolas amarelas e bolas azuis. Sabe-se que o número de bolas azuis é 14 e que, tirando-se ao acaso uma bola da caixa a probabilidade de ela ser azul é de 2/3. Quantas bolas amarelas há na caixa?

A. 7        B. 28         C. 3        D. 10        E. 9

Resolução

Passo 1: Recordar a fórmula da probabilidade

Sabemos que:

e que há 14 bolas azuis. Logo:

Passo 3: Determinar o número de bolas amarelas

O total é 21 bolas, das quais 14 são azuis.

Portanto:

• Amarelas = 21 – 14

• Amarelas = 21 – 14

• Amarelas = 7

Alternativa A.

13. A sequência 1  15  105 … 105  15  1 representa os 3 primeiros e os 3 últimos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal. São escolhidos dois elementos ao acaso. Qual a probabilidade desse elemento ser igual a 105?

A. 3/21      B. 2/3        C. 1/15      D. 1/5      E. 1/8

Resolução

Passo 1: Identificar a linha do Triângulo de Pascal

No Triângulo de Pascal, os elementos de uma linha n são:

Cⁿ₀,   Cⁿ₁,   Cⁿ₂,  …,   Cⁿ_n−1,   Cⁿ_n

Comparando com a sequência dada: 1  15  105 … 105  15  1

O segundo elemento é 15, logo a linha é a de n = 15

Assim, o número total de elementos é: 15 + 1 = 16

Passo 2: Quantos elementos são iguais a 105?

Como o Triângulo de Pascal é simétrico, o número 105 aparece duas vezes. Essa aparicao é visivel na sequencia:1  15  105 … 105  15  1. Ou podemos provar analiticamente:

Pela simetria do Triângulo de Pascal:

Portanto, existem 2 elementos iguais a 105 na linha.

Passo 3: Calcular a probabilidade

Ao escolher um elemento ao acaso da linha:

• Casos favoráveis: 2
• Casos possíveis: 16

Alternativa E.

 A. Dom = R   

B. Dom = ]-1, 1[    

C. Dom = [1, +∞[    

D. Dom = {1}  E. Dom = Ø

Resolução

Para determinar o domínio de existência de função onde os termos multiplicam-se entre si, deve-se determinar os domínios de cada termo de forma individual.

1.º Condição: Raiz quadrada

2.º Condição: Logaritmo

3.º Interseção das condições

Devemos ter ao mesmo tempo:

Sol: [1; +∞[∩]-1; 1[ = Ø

Mas não existe nenhum número real que satisfaça ambas as condições simultaneamente.

Alternativa E

15. A imagem da função f(x) = 5cos(2x) + 1 encontra-se em:

A. [-1, 1]      B. [-5, 5]     C. [-4, 6]     D. [0, 1]     E. Nenhuma delas

Resolução

Para uma função do tipo: f(x) = acos(bx) + c, a imagem é dada por: Im = [c – |a|; c + |a|].

Da função f(x) = 5cos(2x) + 1, temos os seguintes coeficientes: a = 5 e c = 1.

• Im = [c – |a|; c + |a|]

• Im = [1 – |5|; 1 + |5|]

• Im = [1 – 5; 1 + 5]

• Im = [– 4; 6]

Alternativa C

16. De uma função afim g(x) sabe-se que tem um 0 no ponto de abcissa 3 e que g(-2) = -5. Então a sua expressão analítica é?

A. g(x) = – x + 3

B. g(x) = – x + 7

C. g(x) = x² – 9

D. g(x) = x – 3

E. g(x) = 3x + 1

Resolução

Uma função afim tem a forma: g(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

Ter um zero na abcissa 3 significa que: g(3) = 0, ou seja, x = 3 e y = 0.

Assim sendo, substituindo esses dados na forma da função afim, temos:

g(x) = ax + b

g(3) = a(3) + b

0 = 3a + b

3a + b = 0

b = −3a

A partir da condição g(−2) = −5, e substituindo na expressão da forma afim, temos:

g(x) = ax + b

g(−2) = a(−2) + b

−5 = −2a + b

Sabendo que: b = −3a, temos:

• −5 = −2a + b

• −5 = −2a +(−3a)

• −5 = −2a −3a

• −5 = −5a

a = −5/−5

a = 1

Conhecido o valor de a que é a = 1, e sabendo que, b = −3a, temos:

• b = −3a

• b = −3(1)

• b = −3

Conhecido os valores de a e b, esses valores serão substituídos na expressão da função afim.

• g(x) = ax + b

• g(x) = (1)x + (−3)

• g(x) = x −3

Alternativa D.

Veja também: RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025 PARTE 1 (1 – 8)