RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025
PARTE I (QUESTÃO 1 – 8)
1. Indique as soluções da equação –|x – 2| + 6 = 2:
A. x = 2 v x = 6
B. x = – 4 v x = 4
C. x = 2
D. x = –2 v x = 6
E. x = 4
Resolução
Passo 1: Isolar o valor absoluto
A função modular em análise é do tipo |f(x)| = a. Onde no primeiro membro consta o módulo e no segundo membro uma expressão simples, para tal, deve-se passar todo os termos que consta no primeiro membro que não tenha módulo para o segundo membro. De lembrar que na transição de um membro para outro, ocorre a inversão do sinal.
Note que o coeficiente antes do módulo é negativo, assim sendo, vamos multiplicar toda a equação por menos um (– 1).
Passo 2: Resolver a equação modular
Alternativa D.
2. Dizemos que |x| > 3 se:
A. x ∈ ]-∞,-3[∪]3,+∞[
B. x ∈ R
C. x ∈ ]-3, 3[
D. x ∈ ]-∞,-3]∪[3,+∞[
E. x ∈ ]3,+∞[
Resolução
Temos a desigualdade:
|x| > 3
O valor absoluto representa a distância de x até 0. Portanto, |x| > 3 significa que x está a mais de 3 unidades de zero.
Assim:
x > 3 ou x < −3
Em notação de intervalos: x ∈ ]-∞,-3[∪]3,+∞[
Alternativa A.
3. O conjunto dos números reais que se encontra a uma distância igual ou inferior a 3/2 do número π é dado pela expressão:
Resolução
Conjunto de Números Reais: pode ser qualquer valor, que podemos representar por x.
Igual ou inferior a 3/2 do número π: x – π ≤ 3/2
A distância d de um número real podemos representar de seguinte forma: |a| = d(0,a).
Mas a representação gráfica será entre –a à a, uma vez que segundo o definição de módulo um número real pode tomar dois valores.
Em síntese, podemos dizer que o módulo de um número representa a distância entre pontos x e y no eixo das abcissas, ficando: |x – y| = d(x,y).
Portanto, resolvendo para ambos os lados temos:
Somando π aos três membros:
Portanto, o conjunto procurado é:
ou, de forma equivalente,
Alternativa B.
4. A função y = |ax2 + bx + c|, (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) é uma função:
A. Positiva
B. Positiva quando x ≥ 0 e negativa caso contrário
C. Par
D. x ∈ ]2, 3[
E. Nenhuma delas
Resolução
O módulo de qualquer valor, ou função, será sempre positiva, ou seja, o valor absoluto garante que a função y seja positiva (y ≥ 0) para todo x ∈ R.
Portanto, a função y nunca assume valores negativos. Ela pode até ser igual a zero em alguns pontos (quando ax2 + bx + c = 0), mas nunca é negativa.
A. Positiva ✅
B. Falsa, pois a função não pode ser negativa.
C. Falsa, porque a presença do termo bx (b ≠ 0) impede, em geral, que a função seja par.
D. Não descreve uma propriedade da função.
E. Falsa, pois a alternativa A é correta.
Alternativa B.
5. Para que valores de x é válida a equação |x + π| = – (x + π)?
A. x ≥ 0 B. x = – π C. x ≥ π
D. x = 0 E. x ≤ – π
Resolução
Lembrando a propriedade do valor absoluto:
Portanto, para que |x + π| = – (x + π) é necessário que x + π ≤ 0, pois quando A ≤ 0 A, temos ∣A∣ = −A.
Resolvendo:
Alternativa E
6. Qual a intersecção das funções f(x) = –|x| + 4 e g(x) = |x + 1|?
A. x = – 3 v x = 3
B. x = – 1 v x = 4
C. x = 0
D. x = -5/2 v x = 3/2
E. x = – 1 v x = 3/2
Resolução
Para encontrar a intersecção das funções f(x) = –|x| + 4 e g(x) = |x + 1|, devemos igualá-las, ou seja, f(x) = g(x).
Vamos determinar a definição modular de cada parcela:
Vamos analisar por intervalos.
Portanto, os valores de x nas intersecções são: x = -5/2 v x = 3/2
Alínea D).
7. Considerando todos os divisores do número 60, determine a probabilidade de se escolher, ao acaso, um número primo:
A. 0,25 B. 0,3 C. 1,2 D. 0,6 E. 0,75
Resolução
Passo 1: O que são divisores?
Um divisor de 60 é um número que divide 60 exactamente, sem deixar resto.
Vamos listar todos os divisores positivos de 60:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Contando-os: 12 divisores
Passo 2: O que são números primos?
Um número primo é aquele que possui exactamente dois divisores positivos: 1 e ele próprio.
Entre os divisores de 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), os primos são:
2, 3, 5
Logo, existem: 3 divisores primos
Passo 3: Aplicar a fórmula da probabilidade
- Casos favoráveis (CF) = 3 (os números primos: 2, 3 e 5)
- Casos possíveis (CP) = 12 (todos os divisores de 60)
Então:
Alternativa A
8. A solução da equação Cn2 = 6 é?
A. n = 4 v n = –3
B. n = –4 v n = 3
C. n = 3
D. n = 4
E. n = 6
Resolução
Como estamos a trabalhar com combinações, devemos lembrar desde o início que o número n representa uma quantidade de elementos.
Portanto, n ∈ N (n é um número natural) e, para Cn2, é necessário que n ≥ 2.
Passo 1: Escrever a fórmula da combinação
A combinação de n elementos tomados 2 a 2 é dada por:
Note que, entre n! e (n – 2)! o menor termo é (n – 2)! Desse modo, devemos decompor o maior n! até ao termo menor.
n! = n(n – 1)(n – 2)!
Obtivemos uma equação do 2.º grau.
Aplicando o teorema de Bhaskara, e calculando os zeros dessa equação, tem-se: n = – 3 ou n = 4.
Passo 2: Considerar o domínio das combinações
Embora a equação tenha duas soluções algébricas, estamos num problema de combinações. Como n representa o número de elementos de um conjunto, ele deve ser um número natural: n ∈ N.
Logo, n = − 3 não é admissível, porque −3 não é natural. Assim, a única solução válida é n = 4.
Alternativa D.
Veja também: Resolução de Exames de Admissão de Matemática I da UEM de 2025.