RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025

PARTE III (QUESTÃO 17 – 24)

17. Considere a função f(x) = –x² + 4. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A. A função f(x) é monótona.

B. A função f(x) tem domínio R.

C. A função f(x) é injectiva.

D. A função f(x) apresenta um único zero.

E. A função f(x) tem um mínimo absoluto.

Resolução

Vamos analisar cada alternativa para a função f(x) = -x² + 4.

Passo 1: Identificar a função

Trata-se de uma função quadrática com: a = -1, ou seja (a < 0). Logo, o gráfico é uma parábola voltada para baixo, com zeros em -2 ou 2.

Passo 2: Analisar as alternativas

A. A função f(x) é monótona.

❌ Falso.

A função cresce em ]-∞, 0] e decresce em [0, +∞[.

Portanto, não é monótona em todo o domínio.

B. A função f(x) tem domínio {R}.

✅ Verdadeiro.

Como é um polinómio, está definida para qualquer número real. Dom(f) = {R}.

C. A função f(x) é injectiva.

❌ Falso.

Por exemplo: f(2) = 0 e f(-2) = 0. Dois valores diferentes de (x) têm a mesma imagem.

D. A função f(x) apresenta um único zero.

❌ Falso.

Tem dois zeros: (-2) e (2).

E. A função f(x) tem um mínimo absoluto.

❌ Falso.

A parábola está voltada para baixo, logo possui um máximo absoluto em (x = 0):

Alternativa B.

18. Sabe-se que uma função racional f(x) possui duas assimptotas verticais, em x = –2 e x = 3 e uma assimptota horizontal em y = –2. Qual a sua expressão analítica?

Resolução

Vamos raciocinar a partir das assimptotas.

Dados do problema

A função racional possui:

Assimptota vertical em x = −2;
Assimptota vertical em x = 3;
Assimptota horizontal em y = −2.

Passo 1: Construir o denominador

As assimptotas verticais ocorrem quando o denominador é zero.

Como as assíntotas são em x = −2 e x = 3, o denominador deve conter os factores:

(x + 2)∙(x − 3) = x² – x – 6

Passo 2: Construir o numerador

A assimptota horizontal é y = −2.

Uma forma simples de obter essa assimptota é escrever:

A expressão mais simples pode ser:

Há uma inconsistência no enunciado ou nas alternativas.

A única alternativa que possui as assimptotas verticais x = −2 e x = 3 é a E.
Porém, ela tem assíntota horizontal y = 0, e não y = −2.

A única alternativa que que se assemelha é a E, porque é a única que satisfaz as assimptotas verticais dadas. Entretanto, matematicamente, nenhuma alternativa satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado.

16. Seja f(x) = 2^x – 2. Para um número real k, o gráfico da função definida por g(x) = f(x + k) passa no ponto de coordenadas (– 4; –3/2).qual o valor de k?

A. 3 B. –3 C. 4 D. –4 E. 0

Resolução

Dada as funções: f(x) = 2^x – 2 e g(x) = f(x + k). Sabe-se que o gráfico de (g) passa pelo ponto (-4,-3/2), portanto, para determinar k, deve-se:

Passo 1: Escrever g(x)

f(x) = 2^x – 2 e substituindo (x + k) em f(x), temos:

f(x + k) = 2^{x + k}– 2

Sabendo que:

g(x) = f(x + k)

g(x) = 2^{x + k}– 2

Passo 2: Usar o ponto dado

Se o ponto (-4,-3/2), é o mesmo que dizer, x = -4 e y = -3/2, esse ponto pertence ao gráfico de (g), então:

Então:

Alternativa A.

20. Considere as funções f(x) = x² – 9 e g(x) = 2x + 4. Indique o conjunto que representa os zeros de (fog ^–1)(x).

A. {-2, 10} B. {-3, 2, 3} C. {-3, 0} D. {0} E. {1, 3}

Resolução

Vamos interpretar a expressão: (f∘g⁻¹)(x), ou seja, (fog⁻¹)(x) = f(g⁻¹(x)). E queremos encontrar os zeros dessa função.

Passo 1: Determinar g⁻¹(x)

Passo 2: Calcular f(g⁻¹(x))

Substituindo g⁻¹(x) na função f(x):

Passo 3: Determinar os zeros

Igualamos a zero:

Alternativa A.

21. Considere uma progresso aritmética (u_n) tal que u₅ + u₆ = 31 e u₇ + u₉ = 46. Qual é o valor de u₁ e da razão r?

A. u₁ = 1; r = 3

B. u₁ = -2; r = 2

C. u₁ = 2; r = 3

D. u₁ = 3; r = 4

E. u₁ = 3; r = 2

Resolução

Numa Progressão Aritmética (P.A.), o termo geral é:

u_n= u₁ + (n – 1)r

onde:

u₁ é o primeiro termo;
r é a razão.

Passo 1: Usar a condição u₅ + u₆ = 31

Passo 2: Usar a condição u₇ + u₉ = 46

Passo 3: Resolver o sistema

Passo 4: Determinar u₁

Substituindo (r = 3) numa das equações:

Alternativa C.

22. Seja (v_n) uma progressão geométrica, tal que v₅ = 4 e v₈ = 108. Qual o valor de v₆?

A. 6 B. 12 C. 51 D. 76 E. 98

Resolução

Numa Progressão Geométrica (P.G.), o termo geral é: v_n = v₁⋅qⁿ⁻¹

onde:

v₁ é o primeiro termo;
q é a razão da P.G.

Passo 1: Utilizar os dados do problema

Sabemos que: v₅ = 4 e v₈ = 108

Passo 3: Calcular v₆

Numa P.G., cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão (q = 3):

Alternativa B.

23. Seja dada uma sucessão u₁ = log_1/2³, u₂ = log_1/2⁹, u₃ = log_1/2²⁷, u₄ = log_1/2⁸¹, …. Escolha a frase correcta relativa a esta sucessão:

A. Progressão aritmética crescente.

B. Progressão aritmética decrescente.

C. Progressão geométrica crescente.

D. Progressão geométrica decrescente.

E. Não é progressão aritmética nem geométrica.

Resolução

Vamos analisar cuidadosamente a sucessão:

u₁ = log_1/2³,

u₂ = log_1/2⁹,

u₃ = log_1/2²⁷,

u₄ = log_1/2⁸¹

Passo 1: Escrever os argumentos como potências de 3

Observamos que: 3 = 3¹, 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴.

Logo, u_n = log_1/2^{(3^n)}.

Passo 2: Aplicar a propriedade dos logaritmos

Sabemos que: log_a^{(b^n)} = nlog_a^b

Assim, u_n = n∙log_1/2³

Passo 3: Identificar o tipo de sucessão

Os termos são: u₁ = 1log_1/2³, u₂ = 2log_1/2³, u₃ = 3log_1/2³, u₄ = 4log_1/2⁴

A diferença entre termos consecutivos é constante:

Portanto, a sucessão é uma progressão aritmética.

Passo 4: Verificar se é crescente ou decrescente

Como a base do logaritmo é 1/2, temos:

Quando a base está entre 0 e 1, o logaritmo é negativo para números maiores que 1.

Logo:

A razão da P.A. é negativa.

Portanto, a sucessão é decrescente.

Alternativa B.

24. Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão convergente?

A. (–1)ⁿ∙n

B. (–1)ⁿ + n

C. (–1)ⁿ – n

D. (–1)ⁿ/n

E. (–1)ⁿ∙n!

Resolução

Vamos analisar cada sucessão e verificar se ela converge.

Uma sucessão é convergente quando possui um limite finito quando n →∞

A. (–1)ⁿ∙n

Os termos são: -1; 2; -3; 4; -5,…

❌ Não converge.

B. (–1)ⁿ + n

Os termos são: 0; 3; 2; 5; 4; 7,…

❌ Não converge.

C. (–1)ⁿ – n

Os termos são: -2; 1; -4; 3; -6,…

A sucessão tende para -∞

❌ Não converge.

D. (–1)ⁿ/n

Os termos são: -1; 1/2; -1/3; 1/4; -1/5,…

Quando n →∞

1/n → 0.

Logo, (-1)ⁿ/n → 0.

✅Converge para 0.

E. (–1)ⁿ∙n!

O factorial cresce muito rapidamente: 1!; 2!; 3!; 4!,…

O módulo tende para infinito.

❌ Não converge.

Alternativa D.

Veja também: RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025PARTE II (QUESTÃO 9 – 16)