RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA DA 10ª CLASSE DO ANO DE 2024 – 1ª CHAMADA

RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA DA 10ª CLASSE DO ANO DE 2024 – 1ª CHAMADA

1. Usando os símbolos >, <, =, ⊂ ou ⊃ copie e complete na sua folha de respostas os espaços em branco de modo a obter afirmações verdadeiras.

a) ⅕ de 30 ___ 30% de 30

b) R\R^– ____ R₀⁺

c) cos 0 ____ sen π/4

d) lg 2 + lg 5 ____ 2

RESOLUCAO

a) ⅕ de 30 ___ 30% de 30

Primeiro calculamos cada expressão.

NB: Em linguagem matemática: de; da; do → significa multiplicação

30% de 30: Transformamos 30% em fracção:

Agora comparamos: 6 < 9

Resposta: ⅕ de 30 < 30% de 30

b) R\R^– ____ R₀⁺

Aqui precisamos entender os conjuntos.

• R = conjunto dos números reais.

• R⁻ = números reais negativos.
• R₀⁺ = números reais não negativos, isto é, números maiores ou iguais a zero.

Quando retiramos os números negativos de R, ficam apenas números reais não negativos (positivos).

R∖R⁻ = {x ∈ R: x ≥ 0}. Portanto: R∖R⁻ = R₀⁺

Resposta: R\R^– = R₀⁺

c) cos 0 ____ sen π/4

Sabemos que: cos 0 = 1

Também sabemos que π = 180º, logo:

Então: 1 > 0,7071

Resposta: cos 0 > sen π/4

d) lg 2 + lg 5 ____ 2

Usamos a propriedade dos logaritmos: lga + lgb = lg(a∙b)

Assim: lg2 + lg5 = lg (2∙5) → lg (2∙5) = lg10 = 1

Portanto: 1 < 2

Resposta: lg 2 + lg 5 < 2

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2023 – 1ª Chamada

2. Num concurso para admissão de pessoal de uma empresa, foram entrevistados 970 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa (I), 255 falam a língua francesa (F) e 316 não falam nenhuma dessas línguas. Determine o número de candidatos que falam ambas as línguas.

RESOLUÇÃO

Dados:

U = 970

n(I) = 527

n(F) = 255

x = 316

n(I ∩ F) = k = ?

Interpretação dos dados:

• Temos um total de 970 candidatos.
• 527 falam inglês (I);

• 255 falam francês (F);
• 316 não falam nenhuma das duas línguas;
• Pretendemos determinar quantos falam ambas as línguas.

Portanto, 128 candidatos falam simultaneamente inglês e francês.

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2025 – 1ª Chamada

3. Resolva em R a inequação x² – 9 ≥ 0

RESOLUÇÃO

A inequação em estudo, chama-se de inequqcao quadrática. Portanto, essa inequação pode ser resoldivas de duas maneiras, graficamente ou analiticamwnte. Para o prsente estudo, optar-se-a pela resilucao gráfica. Daii que é necessário esboçar o gráfico dessa função.

Passo 1: Transformar a inequação em função, e indicar os coeficientes

Passo 2: Calcular o valor de delta e as raízes

Passo 3: Calcular os vértices do gráfico

Passo 4: Construir o gráfico  

Uma fez que a inequação deve ser maior ou igual a zero, isso quer dizer que a solução válida, é apenas a parte positiva da função. Essas partes estão mostradas no gráfico acima, desse modo, a solução fica:

Sol: x ∈ ]-∞,-3[∪]3,+∞[

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2012 – 2ª época

4. Calcule o valor da expressão log₂³²

RESOLUÇÃO

A expressão log₂³², significa: “2 elevado a quanto é igual a 32?”

Passo 1: Escrever 32 como potência de 2 (decomposição de 32 em base de 2)

Substituindo 32 por 2⁵ na expressão logarítmica, temos:

Leia sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2012 – 1ª época

RESOLUÇÃO

No círculo trigonométrico, o valor de π = 180º, assim sendo, temos:

Agora, vamos determinar os seus respectivos valores:

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe 1ª Época do ano de 2019

6. Determine a altura de uma torre, sabendo que o comprimento da sobra projectada pela mesma torre num plano horizontal é de 52 m e a inclinação dos raios solares é de 60º.

RESOLUÇÃO

Passo 1: Identificar o triângulo formado

A torre, a sua sombra e o raio solar formam um triângulo rectângulo:

• Altura da torre → h, que queremos descobrir;
• Comprimento da sombra → 52 m;
• Ângulo de inclinação dos raios solares → 60^o.

O ângulo de 60^o está entre o raio solar e o solo.

Passo 2: Escolher a razão trigonométrica e calcular a altura

Como conhecemos o cateto adjacente (52 m) e queremos encontrar o cateto oposto (altura da torre), usamos a tangente:

Portanto, a altura da torre é aproximadamente 90,06 metros.

Leia Sobre: Resolução de Exame de Matemática da 10ª Classe de 2020 – 1ª Chamada

7. Dado o rectângulo [ABCD], calcule o valor do ângulo x.

RESOLUÇÃO

Passo 1: Identificar as propriedades do rectângulo

Sabemos que um rectângulo tem quatro ângulos rectos, ou seja, cada ângulo mede 90^∘.

Além disso, os lados opostos são paralelos: AD||BC

A diagonal AC corta estes dois lados paralelos, formando os ângulos x indicados na figura.

Passo 2: Analisar os ângulos formados pela diagonal

Como AD||BC e AC é uma recta transversal, os ângulos alternos internos são iguais.

Assim, o ângulo formado entre AD e AC, no vértice A, é igual ao ângulo formado entre AC e BC, no vértice C.

Portanto: x = x

Atenção: esta igualdade apenas confirma que os dois ângulos são iguais. Para determinar o valor numérico de x, precisamos de utilizar as medidas indicadas na figura.

Passo 3: Utilizar as medidas da diagonal e do lado

Na figura, temos:

• Diagonal AC = 2y;
• Lado DC = y.

Como ABCD é um rectângulo, o triângulo ADC é rectângulo em D. Aplicando a razão trigonométrica do seno:

Portanto, o valor do ângulo x é: x = 30^∘​

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2011 – 2ª época

8. Considere a função f(x) = log₂^x.

a) Represente graficamente a função f(x).

b) Qual é o domínio da função f(x)?

RESOLUÇÃO

a) Represente graficamente a função f(x).

Para representar graficamente a função f(x), que é uma logarítmica de base 2, o valor de x, deverá assumir valores múltiplos de 2, ou seja, potência cuja a base é 2.

b) Qual é o domínio da função?

Temos: f(x) = log₂^x

Sabemos que, para existir um logaritmo, o seu argumento deve ser maior que zero.

Portanto: x > 0

Logo, o domínio da função é: D_f = ]0, +∞[

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2013 – 1ª época

9. O gráfico abaixo representa a função g(x). determine a:

a) Equação do eixo de simetria da parábola;

b) Expressão analítica da função

RESOLUÇÃO

a) Equação do eixo de simetria da parábola;

Eixo de simetria é o ponto no eixo em x, em que divide a parábola em duas partes iguais. Olhando para o ponto em x, o eixo de simetria esta em x = – 2.

b) Expressão analítica da função

Para determinar a expressão analítica deve-se indicar alguns pontos críticos da função:

• Zeros da função: x₁ = – 3 e x₂ = – 1
• Ponto (x,y) = (– 2, 1) ou seja, x = – 2; y = 1

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2015 – 1ª época

10. Fez-se um inquérito a um grupo de 15 jovens sobre as idas ao cinema no mês de Janeiro do ano corrente. Os resultados estão sintetizados no gráfico de barras abaixo.

a) Qual é moda do número de idas ao cinema?

b) Calcule a mediana.

RESOLUÇÃO

O gráfico apresenta os resultados de um inquérito realizado a 15 jovens, sobre o número de idas ao cinema durante o mês de Janeiro.

Observando o gráfico, obtemos os seguintes dados:

Número de idas ao cinema	Número de jovens
0	2
1	3
2	2
3	5
4	2
5	1
Total	15

a) Qual é a moda do número de idas ao cinema?

Passo 1: Compreender o conceito de moda.

A moda é o valor que aparece com maior frequência num conjunto de dados, ou seja, é o valor que repete mais vezes.

Passo 2: Observar o gráfico.

Verificamos que:

• 2 jovens foram ao cinema 0 vezes;
• 3 jovens foram ao cinema 1 vez;
• 2 jovens foram ao cinema 2 vezes;

• 5 jovens foram ao cinema 3 vezes;
• 2 jovens foram ao cinema 4 vezes;
• 1 jovem foi ao cinema 5 vezes.

Passo 3: Identificar o valor com maior frequência.

O maior número de jovens é 5, correspondente a 3 idas ao cinema.

Resposta: Moda = 3 idas ao cinema

Portanto, a moda é 3 idas ao cinema, porque esse é o número de idas que apresenta maior frequência.

b) Calcule a mediana.

Passo 1: Compreender o conceito de mediana.

A mediana é o valor que fica no meio de um conjunto de dados organizados por ordem crescente ou decrescente.

Passo 2: Organizar os dados por ordem crescente.

De acordo com o gráfico, temos: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5

Passo 3: Determinar a posição da mediana.

Como temos 15 jovens, ou seja, um número ímpar de observações, usamos a fórmula:

Em que:

• P representa a posição da mediana;
• n representa o número total de observações.

Substituindo n = 15, obtemos:

Logo, a mediana encontra-se na 8.ª posição.

Passo 4: Identificar o valor da 8.ª posição.

Na sequência ordenada:

O valor que ocupa a 8.ª posição é 3.

Resposta: Mediana = 3 idas ao cinema

Portanto, a mediana é 3 idas ao cinema, porque esse valor ocupa a posição central dos 15 dados ordenados.

CLIQUE AQUI PARA BAIXAR ENUNCIADO: BAIXAR ENUNCIADO

Leia Sobre: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2011 – 1ª época