Equação Modular |f(x)| = ax + b
Equação Modular
A equação modular, é toda aquela equação que pelo menos tem uma incógnita (variável) dentro de um módulo.
Por exemplo:
a) 3|x + 1| = 1
b) |x – 3| = x – 2
c) |x2 – 4| = |x + 1|
Então, para resolver qualquer equação modular, é imperioso o conhecimento de dois conceitos fundamentais, a definição de módulo:
Veja também: Módulo de um número real.
Equação modular do tipo |f(x)| = ax + b
Para melhor percepção sobre os moldes de resolução de uma equação modular, preste atenção nos seguintes módulos abaixo:
a) |–1| = 1
b) |1| = 1
c) |0| = 0
A partir dos módulos apresentados acima, nota-se que independente do sinal do número dentro do módulo, o resultado será sempre positivo, excepto se o número que estiver dentro do módulo for zero, desse modo, podemos dizer que o resultado de um módulo deve ser sempre um número igual ou maior que zero, chamamos a essa condição de domínio de existência de uma equação modular.
Portanto, antes de partir para resolução da equação modular, a primeira coisa a analisar é a condição de existência, ora vejamos, todo módulo, o seu resultado será sempre um valor positivo. Mas, quando temos uma expressão algébrica fora dos módulos, devemos determinar o domínio de existência, ou seja, valores na qual, torna a equala válida, pois a variável pode tomar qualquer valor, senão vejamos a equação abaixo, vamos determinar os valores que torna a equação válida: |x – 5| = 2x + 1.
Para analisar os valores que torna a equação válida, apenas vamos analisar a expressão algébrica que estiver fora do módulo, que é: 2x + 1, para isso, vamos atribuir valores arbitrários a variável x.
| x | 2x + 1 | Observação |
| –3 | 2(–3) + 1 = – 6 + 1 = – 5 | Negativo |
| –2 | 2(–2) + 1 = – 4 + 1 = – 3 | Negativo |
| –1 | 2(–1) + 1 = – 2 + 1 = – 1 | Negativo |
| 0 | 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 | Positivo |
| 1 | 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 | Positivo |
| 2 | 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 | Positivo |
| 3 | 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 | Positivo |
Então, a partir da tabela acima note que, para valores diferentes de x, podemos ter resultados negativos e positivos, nota-se então que de menos infinito até menos um ]–∞; –1], o resultado é negativo, logo não satisfaz a condição, pois, conforme vimos antes, o resultado de um módulo deve ser sempre um valor positivo.
Em contrapartida, a partir de zero a mais infinito [0; +∞[, o resultado é positivo, então essa condição válida.
Feita essas observações notamos então para que seja valida a condução deve ser maior ou igual a zero, ou seja, o domínio de existência deve ser a ≥ 0.
Exemplo:
1. Resolva a seguinte equação modular
a) |3x – 5| = 2x – 4
Note que essa equação é do tipo |f(x)| = ax + b, desse modo, a expressão que estiver fora do módulo, deve ser maior ou igual a zero, nesse caso a expressão que está fora do módulo é 2x – 4, e repare que x pode tomar qualquer valor, por ser uma variável, assim sendo vamos determinar a região na qual a condição seja válida.
Verificar a condição de existência:
O domínio de existência que torna a equação válida, são todos os valores de x, maiores ou iguais a 2, ou seja, valores menores que 2, não satisfazem a condição.
Determinado o domínio de existência, vamos então calcular o domínio de existência.
|3x – 5| = 2x – 4
Esboçando o gráfico do eixo do domínio da existência e colocando os valores das raízes (valores de x), pode-se observar algumas conclusões:
Note que os valores de x calculados (1 e 9/5), estão fora do domínio de existência, assim sendo, a solução é nula, ou seja, não tem solução.
Sol: { }
b) |x2 – x + 1| = 2x – 1
Como no primeiro exemplo antes, porém vamos verificar a condição de existência:
A primeira parcela será:
Estamos perante a uma equação quadrática, vamos então calcular as suas raízes, sabendo que: a = 1, b = –3 e c = 2.
Enquanto na segunda parcela fica:
Traçando o eixo do domínio existência e colocando os valores de x, calcuados podemos tirar algumas conclusões:
Os valores de x foram:
Olhando para os valores de x que calculamos, apenas os valores de x que estão dentro do domínio de existência são: x = 1 e x = 2, logo são esses os valores da solução.
Sol: {1,2}