Função Módulo do tipo y = |f(x)|
Chama-se função modular, a função de IR em IR dada pela lei f(x) = | x |
Para proceder-se a construção de um gráfico da função modular, é importante conhecer a sua definição, pois, a partir da definição pode-se proceder a sua representação gráfica, então para a sua construção obedece-se o seguinte:
1ª. Passo: Construímos o gráfico da função y = f(x), mas só consideramos a parte em que x ≥ 0, que é a bissetriz do 1º quadrante;
2ª Passo: Construímos o gráfico da função y = – f(x), mas só consideramos a parte em que x < 0, que é a bissetriz do 2ª quadrante;
3ª Passo: Reunimos os dois gráficos dos dois passos anteriores.
Exemplo:
1. Construa o gráfico da seguinte função modular f(x) = |x – 1|
Resolução
Antes porém, vamos usar a definição de módulo para parcelarmos a função, dessa forma fica
1ª. Passo: Construímos o gráfico da função y = f(x), mas só consideramos a parte em que x ≥ 0, que é a bissetriz do 1º quadrante, dessa forma f(x) = x – 1.
Uma vez que a função é linear, então aplicando conhecimentos de função linear podemos esboçar o gráfico.
a) Vamos igualar a função f(x) a zero, assim fica: f(x) = 0
b) Vamos igualar a variável x a zero, assim fica: x = 0
E traçando os pontos P1 e P2 no SCO, resulta no gráfico abaixo.
A única parte que nos interessa é a apenas a parte de positiva, ou seja, o 1º quadrante tendo em conta a condição: x ≥ 1. A parte tracejada, é a parte negativa do gráfico, logo, não precisamos, então descartamos.
2ª Passo: Construímos o gráfico da função y = – f(x), mas só consideramos a parte em que x < 0, que é a bissetriz do 2ª quadrante, ou seja, f(x) = -x +1.
Uma vez que a função é linear, então aplicando conhecimentos de função linear podemos esboçar o gráfico.
a) Vamos igualar a função f(x) a zero, assim fica: f(x) = 0
b) Vamos igualar a variável x a zero, assim fica: x = 0
A única parte que nos interessa é a apenas a parte de positiva, tendo em conta a condição: x < 1. A parte tracejada, é a parte negativa do gráfico, logo, não precisamos, descartamos.
3ª Passo: reunimos os dois gráficos, dos dois passos anteriores num único SCO.
Num único SCO, vamos representar a função, mas atenção, apenas vamos representar as partes aceites do gráfico, isso é, vamos representar o gráfico apenas as partes positivas, eliminando as partes tracejadas, as negativas.
Reunindo os dois gráficos num único SCO, resulta no gráfico acima.
2. Construa o gráfico da função g(x) = |x2 – 4x + 3|
Resolução
A semelhança do exercício anterior, vamos antes porém, separar em parcelas a função, usando o a definição de módulo, dessa forma temos:
1ª. Passo: Construímos o gráfico da função y = x2 – 4x + 3 ≥ 0, por se tratar de uma inequação quadrática, vamos então determinar a parte a considerar.
Uma vez que a função é quadrática, então aplicando conhecimentos de função quadrática podemos esboçar o gráfico.
a) Calcular o valor de delta, para: a = 1, b = – 4 e c = 3, assim fica:
b) Calcular os zeros da função, assim fica:
c) Calcular os vértices da função, assim fica:
A partir dos zeros da função e da condição da função y = x2 – 4x + 3 ≥ 0 (região positiva), consideraremos então:
x ≤ 1 ou x ≥ 3, esboçando a gráfico fica:
A única parte que nos interessa é a apenas a parte x ≤ 1 ou x ≥ 3, então a parte pintada não faz parte por ser negativa, logo descartamos.
2ª Passo: Construímos o gráfico da função y = -x2 + 4x – 3 < 0, por se tratar de uma inequação quadrática, vamos então determinar a parte a considerar.
Uma vez que a função é quadrática, então aplicando conhecimentos de função quadrática podemos esboçar o gráfico.
Os resultados, dessa inequação são os mesmos que encontrado no passo 1, única diferença apenas estará no gráfico, onde a sua concavidade estará voltada para baixo.
A única parte que nos interessa é a apenas a parte x ≤ 1 ou x ≥ 3, então a parte pintada é a parte que nos interessa, pois é a região positiva.
3ª Passo: Reunimos os dois gráficos dos dois passos anteriores.
Num único SCO, vamos representar a função, mas atenção, apenas vamos representar as partes aceites do gráfico (partes positivas), isso é, vamos representar o gráfico, as partes dentro da condição x ≤ 1 ou x ≥ 3.
Veja também: Módulo de um número real.
