Exercícios Resolvidos Sobre Oscilações Mecânicas

Exercícios Resolvidos Sobre Oscilações Mecânicas

1. Um corpo com massa de 1 kg oscila harmonicamente preso na extremidade de uma mola elástica gastando 0,3 s para ir de M a L. A distância MN = 8 cm. Determine:

a) A amplitude e o período das oscilações.

b) Quantas vezes por minuto o corpo passa pela posição N?

c) A constante elástica da mola

d) A frequência das oscilações e a pulsação.

Resolução

a) A amplitude e o período das oscilações.

Amplitude indica o valor absoluto da distância entre a posição de equilíbrio estável, nesse caso a posição de equilíbrio é N, assim sendo a amplitude será MN, ou seja, será igual a A = 8 cm, ou simplesmente A = 0,08 m.

Período é o tempo necessário para realizar uma volta completa, uma vez que oscilador sai do ponto M para L, então significa que o período será o tempo que leva a sair do ponto M e voltar novamente para M. Então olha, se de M para L faz 1 ciclo, e de L para M, faz outro ciclo, isto é, o 2 ciclo, dessa forma o período será dado por:

• T = 2 ∙ t_ML

• T = 2 ∙ 0,3

• T = 0,6 s

b) Quantas vezes por minuto o corpo passa pela posição N?

A posição N, é a de equilíbrio, e numa volta completa, o oscilador passa duas vezes pela posição de equilíbrio, na primeira a ir e na segunda a voltar. Como queremos saber quantas vezes passa por minuto passa pela posição N, temos de ter em conta que 1 minuto, corresponde a 60 segundos, assim já temos dois dados o T = 0,6 s e t = 60 s, dessa forma fica:

Mas, repare que o oscilador passa 2 vezes pela posição N, então fica desse jeito:

n = 2 ∙ 100

n = 200 voltas.

R: Passa pela posição N, 200 vezes, ou seja, 200 voltas.

c) A constante elástica da mola

d) A frequência das oscilações e a pulsação.

A frequência é o inverso do período, então fica:

Pulsação é mesmo que a frequência angular, então fica:

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2. Na figura, o pêndulo X oscila harmonicamente entre as posições G e H e o pêndulo Y oscila harmonicamente entre as posições J e P, num lugar onde a aceleração de gravidade vale 10 m/s². O gráfico dado é referente às oscilações do pêndulo X.

a) Qual dos dois pêndulos, X ou Y, tem maior período de osculação? Justifique a resposta.

b) Determine a amplitude e período de cada pêndulo.

c) Quais são os valores correspondentes às letras “Q”, “R” e “S”, do gráfico dado, para o pêndulo X?

d) Pretende-se transportar o pêndulo Y para um planeta de modo que, nesse planeta, o seu período seja igual ao período do pêndulo X na Terra. A aceleração da gravidade desse planeta deve ser maior ou menor que da Terra? Justifique.

Resolução

a) Qual dos dois pêndulos, X ou Y, tem maior período de osculação? Justifique a resposta.

Tem maior período de oscilação o pêndulo X. Ambos os pêndulos são gravitacionais simples, e esse tipo de pêndulo, o seu período é directamente proporcional ao seu comprimento, ou seja, quanto maior o comprimento, maior também será o período, então uma vez que o comprimento de X é maior que de Y (l_X > l_Y), então essa é a razão do pêndulo X, ter maior período.

b) Determine a amplitude e período de cada pêndulo.

O pêndulo X, oscila entre os extremos GH, então como a amplitude é a distância entre a posição de equilíbrio e um dos extremos, então fica:

O pêndulo Y, oscila entre os extremos JP, então como a amplitude é a distância entre a posição de equilíbrio e um dos extremos, olha que a distância entre o extremo e a posição de equilíbrio são 20 cm, ou seja, A = 20 cm = 0,2 m então esse é o valor da amplitude.

c) Quais são os valores correspondentes às letras “Q” e “S”, do gráfico dado, para o pêndulo X?

Para termos os valores dessas letras, primeiro deve-se identificar, o que cada letra simboliza no gráfico, dessa forma tem-se:

Q – Amplitude

R – Período

S – Tempo de oscilações

A amplitude do pêndulo X, já calculamos na alínea b, que é A = 0,1 m então quer dizer que Q = 0,1 m.

O período de um pêndulo gravítico é dado pela seguinte equação: Lembre-se que l_X = 90 cm = 0,9 m e g = 10 m/s².

Calculado o período, então isso quer dizer que a letra R = 1,884 s.

Repare e conte atentamente que a partir da origem do gráfico, até ao ponto S, realiza 2,5 voltas completas, uma vez que o período já é conhecido que é 1,884 s, então temos:

• S = 2,5 ∙ T

• S = 2,5 ∙ 1,884 s

• S = 4,71 s

Então de imediato S = 4,71 s

d) Pretende-se transportar o pêndulo Y para um planeta de modo que, nesse planeta, o seu período seja igual ao período do pêndulo X na Terra. A aceleração da gravidade desse planeta deve ser maior ou menor que da Terra? Justifique.

g_Planeta > g_Terra. Se o pêndulo gravítico é directamente proporcional ao comprimento, ela é inversamente proporcional a aceleração de gravidade. Então se pretende-se transportar o pêndulo Y para um planeta de tal modo que o seu período seja igual que o período do pêndulo X que está na terra, então a gravidade nesse planeta deve maior que da terra pois o período deve diminuir.

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3. Na figura, os corpos A e B, possuem massas respectivamente iguais a 200 g e 800 g. As duas molas, onde oscilam os corpos são iguais, isto é, têm a mesma constante de elasticidade k = 20 N/m.

a) Compare, justificando a resposta, os períodos de oscilação dos dois pêndulos.

b) Determine a amplitude e o período de oscilação de cada pêndulo.

c) Se o pêndulo A for transportado para a Lua onde g_L < g_T, o seu período será maior, menor ou igual ao período do pêndulo B que permanece na Terra? Justifique a resposta.

d) Calcule a frequência das oscilações do pêndulo A.

e) Determine quantas oscilações o pendulo B realiza em 2 minutos.

Resolução

a) Compare, justificando a resposta, os períodos de oscilação dos dois pêndulos.

Estamos perante a pêndulos elásticos, onde tem como variável a massa, então significa que o período será directamente proporcional a massa, ou seja, se a massa aumenta, aumenta também o período, mas devido a raiz quadrada da fórmula, a o período aumenta em função do valor resultante da raiz quadrada.

Repare que a massa A = 200 g e a massa de B = 800 g, isso quer dizer que a massa de B é 4 vezes maior que a massa de A (m_B = 4m_A), então agora fazendo uso da função raiz quadrada, uma vez que a massa de B é 4 vezes, maior que a massa de A, e raiz de 4 é 2, pode-se concluir que o período de B é duas vezes maior que A, ou seja, T_B = 2T_A.

b) Determine a amplitude e o período de oscilação de cada pêndulo.

O pêndulo A, oscila entre os extremos GI, então como a amplitude é a distância entre a posição de equilíbrio (posição H) e um dos extremos, olha que a distância entre o extremo e a posição de equilíbrio são 4 cm, ou seja, A = 4 cm = 0,04 m então esse é o valor da amplitude.

O pêndulo B, oscila entre os extremos MP, então como a amplitude é a distância entre a posição de equilíbrio e um dos extremos, então fica:

c) Se o pêndulo A for transportado para a Lua onde g_L < g_T, o seu período será maior, menor ou igual ao período do pêndulo B que permanece na Terra? Justifique a resposta.

O período seria igual. Pois pêndulos elásticos o seu período não depende da gravidade.

d) Calcule a frequência das oscilações do pêndulo A.

A frequência é o inverso do período, então fica:

e) Determine quantas oscilações o pendulo B realiza em 2 minutos.

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