Estudo Completo de Função Modular

Estudo Completo de Função Modular

1. Estudo Completo de Função Modular

Quando se aborda sobre estudo completo de uma função, muitos alunos apresentam dificuldades em perceber e até em fazer o estudo, mas isso, deve-se pelo facto de não compreender o termo em si em linguagens práticas. Portanto, olhemos para a seguinte imagem abaixo para melhor percepção:

Portanto, fazendo um estudo, ou ainda, descrevendo a imagem acima, nota-se que é a planta de uma casa com as seguintes especificações:

• Comprimento 12 metros
• Largura 9 metros
• Dois quartos
• Um banheiro
• Uma varanda
• Uma área de serviço/churrasqueira
• Cozinha
• Sala de estar/jantar
• Varanda

Traduzindo essa descrição em termos matemáticos, voltado a um gráfico, chamamos de estudo de uma função, então a partir disso podemos definir o estudo completo de uma função.

1.1. Definição

O estudo completo de uma função é a análise detalhada, ou seja, a descrição de todas as suas características principais, com o objectivo de compreender totalmente o seu comportamento e construir o seu gráfico correctamente.

Em outras palavras: é investigar tudo sobre a função: domínio, zeros, sinal, crescimento, extremos, gráfico, etc.

1.2. Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x (verifica-se no eixo dos x), para os quais a função está definida, ou seja, os valores que podemos substituir na função sem causar erro matemático.

Em termos simples:

Domínio = valores permitidos para x

Por que o Domínio é Importante?

Porque nem todo número pode ser colocado em qualquer função.

Algumas operações matemáticas não são permitidas, como:

• Divisão por zero
• Raiz quadrada de número negativo (no conjunto dos reais)
• Logaritmo de número negativo

O domínio evita esses problemas.

1.3. Contradomínio

O contradomínio é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir como resultado (verifica-se no eixo dos y), e nota-se na região crescente do gráfico, segundo a definição da função.

Em termos simples:

Contradomínio = conjunto onde os valores de f(x) estão definidos para pertencer.

Quando definimos uma função, escrevemos assim:

f: A → B

Onde:

• A = domínio
• B = contradomínio

Isso significa que:

• Os valores de entrada (x) vêm de A
• Os valores de saída (f(x)) pertencem a B

Diferença Entre Contradomínio e Imagem

Essa é a parte mais importante!

Contradomínio

É o conjunto declarado na definição da função.

Imagem

É o conjunto dos valores dentro do conjunto declarado que a função realmente assume, ou seja, a imagem é um subconjunto do conjunto contradomínio.

1.4. Zeros da Função

Os zeros da função são os valores de x para os quais a função assume valor zero.

Em outras palavras, são os valores de x que tornam f(x) = 0.

Interpretação Gráfica

Os zeros da função correspondem aos pontos onde o gráfico corta ou toca o eixo dos x (eixo horizontal), entretanto, são também chamados de:

• Raízes da função
• Soluções da equação
• Interseções com o eixo x

1.5. Monotonia (Variação da Função)

A monotonia indica como a função se comporta à medida que x aumenta.

Ela nos diz se a função:

• Está a crescer
• Está a decrescer
• Permanece constante

Em termos simples, monotonia é o estudo do crescimento e decrescimento da função.

a) Tipos de Variação

Função Crescente

Uma função é crescente quando:

Se x₁ < x₂​, então f(x₁) < f(x₂)

Ou seja, quando x aumenta, f(x) também aumenta. Desse modo, quanto maior o valor de x, maior será o valor da função.

Função Decrescente

Uma função é decrescente quando:

Se x₁ < x₂​, então f(x₁) > f(x₂)

Ou seja, quando x aumenta, f(x) diminui. Dessa forma, quanto maior o valor de x, menor será o valor da função.

Função Constante

É quando o valor da função não muda, ou seja, é constante conforme o nome sugeri.

f(x) = k

Não importa o valor de x, o resultado será sempre k, ou seja, o valor da função não mudará.

b) Interpretação Gráfica

• Função crescente → gráfico sobe da esquerda para a direita
• Função decrescente → gráfico desce da esquerda para a direita
• Função constante → linha horizontal

1.6. Variação do Sinal

A variação do sinal consiste em determinar onde a função é:

• Positiva
• Negativa
• Nula (igual a zero)

Em resumo, é o estudo de onde o gráfico está acima, abaixo ou sobre o eixo x.

a) Como Determinar a Variação do Sinal?

Para estudar o sinal de uma função, seguimos estes passos:

1️. Encontrar os zeros da função (resolver f(x) = 0)

2️. Dividir a recta real em intervalos

3️. Testar um valor em cada intervalo

b) Interpretação Gráfica

• Se o gráfico está acima do eixo x → função positiva
• Se está abaixo do eixo x → função negativa
• Se toca ou corta o eixo x → função nula

2. Exemplo

1. Faça o estudo completo do gráfico abaixo.

Domínio

Domínio são valores de x que validam a função, ela verifica-se no eixo de x, então, olhando para o gráfico no eixo do x, nota-se que o gráfico saí de menos infinito até mais infinito, ou seja, abrange todos os valores reais no eixo do x, assim sendo o domínio será o conjunto dos números reais.

D: x ϵ IR

Contradomínio

Contradomínio verifica-se no eixo dos y, e olhando para o gráfico no eixo dos y, nota-se que o gráfico começa a crescer a partir de, menos dois e segue até ao mais infinito, desse modo, fica:

CD: y ϵ [–2; +∞[

Zeros da Função

Zeros da função, são pontos onde o gráfico corta o eixo dos x, e olhando para o gráfico, os pontos em x são cortados em – 1 e 3, desse modo, esses são os zeros da função x = – 1 e x = 3.

Monotonia (Variação da Função)

A monotonia indica pontos em que a função cresce ou decresce, e olha que o gráfico tem uma região decrescente e outra descrente, ou seja:

Decrescente: ] –∞; 1[

Crescente: ]1; +∞[

Atenção, esses pontos extraem-se olhando para o eixo x.

Variação do Sinal

As partes dos gráficos que estiverem acima do eixo dos x são positivas, e as partes abaixo dos eixos do x são negativas, então temos:

Positivo: ] –∞; –1[ → f(x) > 0

Negativo: ] –1; 3[ → f(x) < 0

Positivo: ]3; ∞[ → f(x) > 0

2. Faça o estudo completo do gráfico abaixo.

Domínio

Domínio são valores de x que validam a função, ela verifica-se no eixo de x, então, olhando para o gráfico no eixo do x, nota-se que o gráfico saí de menos infinito até mais infinito, ou seja, abrange todos os valores reais no eixo do x, assim sendo o domínio será o conjunto dos números reais.

D: x ϵ IR

Contradomínio

Contradomínio verifica-se no eixo dos y, e olhando para o gráfico no eixo dos y, nota-se que o gráfico não tem nenhuma parcela abaixo do eixo do x, então o contradomínio será números reais positivos, ou seja:

CD = y ϵ IR⁺ ou CD = y ϵ [0; +∞[

Zeros da Função

Zeros da função, são pontos onde o gráfico corta o eixo dos x, e olhando para o gráfico, os pontos em x são cortados em – 4 e 4, desse modo, esses são os zeros da função x = – 4 e x = 4.

Monotonia (Variação da Função)

A monotonia indica pontos em que a função cresce ou decresce, e olha que o gráfico tem uma região decrescente e outra descrente, ou seja:

Decrescente: ] –∞; –4[

Crescente: ] –4; 0[

Decrescente: ] 0; 4[

Crescente: ] 4; +∞[

Atenção, esses pontos extraem-se olhando para o eixo x.

Variação do Sinal

A princípio partes dos gráficos que estiverem acima do eixo dos x são positivas, e as partes abaixo dos eixos do x são negativas. Mas olhando para o gráfico, nota-se que nenhuma parte da função esta abaixo do eixo dos x, assim sendo, a função é positiva em todo o seu domínio.

Veja também: Função modular do tipo y = f(|x|)