Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2012 – 1ª época
1. Assinale com (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmações que se seguem:
a) | – 5| < 2 → Falso
O módulo de qualquer número o seu valor numérico terá sinal positivo, então |-5| = 5, e não é verdade que 5 é menor que 2, logo, a resposta é Falsa (F).
b) O diâmetro duma circunferência é sempre maior do que o comprimento de qualquer das suas cordas. → Verdadeiro
Para demostrar essa aplicação, recorre-se a racionalização de denominador.
Feito a demostração então é Verdadeira (V).
Aplicando as propriedades logarítmicas temos:
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2. Calcule o valor das seguintes expressões:
Comentário da resolução
No ponto (1) dessa resolução, primou-se pelo cálculo do mmc entre as fracções com o intuito de obtermos os mesmos denominadores, para que possamos adicionar as fracções. Entretanto, seguindo com a resolução, no ponto (2), fez-se o cálculo do mmc e realizou-se a respectiva operação que o resultado é apresentado no ponto (3), tendo resultado em duas fracções com mesmos expoentes. Já no ponto (4), com recurso as propriedades de potenciação, fez-se a divisão de fracções e manteve-se o expoente. Onde a partir do ponto (5) a (7), realizou-se as operações básicas que resultou no valor final.
Comentário da resolução
No ponto (1), o logaritmando que está na forma decimal, foi transformada em notação científica, para fazer uso de umas das propriedades logarítmicas, enquanto o seno que está em radianos, foi convertido em graus, só para lembrar π = 180º. No ponto (2), fez uso da propriedade dos logaritmos e fez-se a divisão do angulo resultando em sen(30º). Já no ponto (3), fez a substituição do valor correspondente do sen(30º) = ½. A partir do ponto (4), onde fez-se o cálculo do mmc, até (6), foram realizadas algumas operações básicas.
Comentário da resolução
No ponto (1), foi feito a decomposição dos radicais em produtos que apresentam uma raiz perfeita, onde: 12 = 4 x 3 onde 4 tem uma raiz perfeita, e 75 = 25 x 3 onde 25 é a raiz perfeita. Em seguida no ponto (2), decompôs-se em potência os números com raízes quadradas perfeitas. Fazendo uso das propriedades de potenciação, fez-se a separação das raízes conforme mostra o ponto (3). No ponto (4), fez-se a passagem dos termos para fora do radical, onde nos pontos (5) e (6), resultou em duas raízes com coeficientes diferentes, mas com os mesmos radicandos, daí que no ponto (7), colocou-se em evidência o radical e somou-se os coeficientes, o resultado final foi dado no ponto (8).
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3. Resolva:
Para resolver um sistema de equações com duas incógnitas, pode-se usar muitos métodos de resolução. Para esse exercício, primou-se pelo método de substituição.
Comentário da resolução
No ponto (1), isolou-se a variável y da primeira equação. Já no ponto (2), fez-se a substituição da equação isolada no ponto (1), e substituiu-se na variável y da segunda equação, tendo resultado numa equação em função do variável x apenas conforme é visível no ponto (3). Onde do ponto (4) a (7) resolveu-se a equação onde o foi encontrado o valor de x.
Repare que até então, apenas resolvemos a variável x, mas a equação tem 2 variáveis, daí que devemos encontrar também o valor de y. para isso, vamos pegar a equação do y isolada no ponto (1), conforme mostra o ponto (8).
Uma vez que já se encontrou o valor de x em ponto (7), substitui-se esse valor na variável x da equação (1) conforme da para ver no ponto (9), onde daí em diante foi possível encontrar o valor de y e por fim dar a solução.
Comentário da resolução
No ponto (1) dessa resolução, passou-se o termo que não contem a variável em estudo para o segundo membro, importa referir que na transição de um membro para outro, ocorre com inversão de sinal. Como a ideia é apenas calcular o valor de x de cotangente, isola-se apenas o cotg(x), fazendo passar o coeficiente 3 para outro membro dividindo. Já no ponto (3), para determinar o ângulo x, usa-se a função inversa do cotangente que é arccotg. Este valor pode ser encantado na tabela trigonométrica, que correspondem a 60º graus, conforme é mostrado no ponto (4). Nesse ponto é importante fazer uma verificação da condição dada, pois o valor do angulo x, deve estar entre 0° ≤ x ≤ 90°, ou seja, o ângulo x deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a 90º. E olha que 60º enquadra-se nessa condição.
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4. Resolva a seguinte equação:
Comentário da resolução
A equação, é biquadrada, ou seja, biquadrática que pode ter até quatro zeros da função. Para a sua resolução em função do tipo da equação biquadrada, pode-se optar por diversos métodos. O método aqui adoptado é de anulação do produto. Mas, também se pode optar pelo método de troca de variável, que é a mais completa.
Então, no ponto (1), fez-se as trocas de membros. E no ponto (2), colocou-se em evidência o menor termo que é x2. No ponto (3), aplicou-se a propriedade de anulação de produto.
No ponto (4), realizou-se a operação do primeiro produto, cujo o resultado final é apresentado no ponto (8). Enquanto, no ponto (9), resolveu-se o segundo produto, que por sinal é uma equação quadrática do tipo ax2 + c = 0. Feito as resoluções, as raízes são determinadas no ponto (13). Contudo, uma vez que temos três raízes, ou seja, três valores de x, organizou-se numa solução isso no ponto (14).
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5. A figura representa os alunos duma Escola de Música que tocam guitarra G, piano P e violino V.
De acordo com a figura quantos alunos tocam:
a) Guitarra?
b) Apenas piano e violino?
c) Apenas piano?
Resolução
a) Guitarra
Tocam guitarra todos os alunos que estão dentro do diagrama (círculo) de guitarra, para isso, basta apenas somar, assim fica:
G = 55 + 5 + 15 + 75
G = 150
b) Apenas piano e violino?
Os alunos que tocam apenas piano e violino, é o número de alunos que se encontra entre os círculos piano e violino, ou seja, é onde a interseção, assim fica:
P∩V = 13
c) Apenas piano?
Apenas piano, é o número de alunos que toca só piano e nada mais, ou seja, estava isolado de outros círculos, olhando para o círculo de piano temos:
P = 47
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6. Dada a equação x2 – 4x + 5 – m = 0. Determine m de modo que a equação admita duas raízes reais de sinais contrários.
Resolução
Aqui estamos perante a duas condições:
Primeiro: Admita duas raízes – para isso o valor de delta deve ser maior que zero.
Segundo: Raízes contrários – significa que uma raiz é negativa (-) e outra raiz é positiva (+). Sabendo que produto é a multiplicação das raízes, e sabendo que a multiplicação entre um valor negativo e negativo será negativo, então o produto será negativo.
a = 1; b = – 4; c = 5 – m
Sol: m > 5
Comentário da resolução
No ponto (1), fez-se a colocação das condições, onde no ponto (2), essas condições foram substituídas pela respectivas equações. No ponto (3), as equações foram substituídas pelos respectivos valores, tendo resultado numa inequação linear. Onde do ponto (4) ao (6), realizou-se as operações matemáticas a fim de encontrar o valor de m.
Após a determinação do valor de m, fez-se um eixo, dos intervalos dos valores de m, onde o ponto de convergência entre foi para m > 5.
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7. Observa a figura e determine:
a) Os zeros da função g(x).
b) Os valores de x tal que g(x) = h(x).
c) Os valores de x tal que g(x) > h(x).
d) A expressão analítica de g(x).
Resolução
a) Os zeros da função g(x).
Os zeros da função são valores de x onde o gráfico corta tocam/corta o eixo do x. O gráfico f(x), corta o eixo de x em, assim sendo os zeros da função são: x1 = – 1 ou x2 = 3
b) Os valores de x tal que g(x) = h(x).
Os valores de x, onde f(x) e h(x) são iguais, é onde os dois gráficos se encontram. Olhando para os gráficos, se cruzam no eixo x em x = 3. Mas também, se cruzam em y = 3, mas tenha atenção, que devemos observar no eixo x, assim sendo, nesse ponto y = 3, o valor de x esta em x = 0, assim sendo, os gráficos no eixo x, se cruzam em: x = 0 ∧ x = 3.
c) Os valores de x tal que g(x) > h(x).
O gráfico g(x) é quadrático e o gráfico h(x) é linear. E pretende-se encontrar onde a função quadrática é maior que a função linear. Para isso, devemos nos focar apenas, onde a função quadrática está acima da função linear. Para isso, basta apenas olhar para os gráficos, no eixo do x:
De menos infinito até 0 ]-∞; 0[: a função quadrática esta abaixo do gráfico linear.
Do ponto zero até 3 ]0; 3[: a função quadrática está acima do gráfico linear.
De três até mais infinito ]3; +∞[: a função quadrática esta abaixo do gráfico linear.
Então, como a ideia é determinar onde o gráfico f(x) esta acima de g(x), a solução é: x = ]0; 3[
d) A expressão analítica de g(x).
Para determinar a expressão analítica, deve-se identificar os pontos críticos da função.
Zeros da função: x1 = x – 1; e x2 = 3
Pontos críticos: y = 3 e x = 0.
Pegando esses pontos, e substituindo no ponto (1), encontramos o valor de a. E encontrado o valor de a, foi substituída na equação do ponto (7).
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8. A tabela mostra as classificações de uma turma da 10ª classe no exame de Matemática:
| Nº de alunos | 5 | 7 | 20 | 12 | 6 |
| Classificações | 7 | 8 | 10 | 13 | 14 |
Com base na tabela determine:
a) A moda.
b) A média aritmética.
c) A percentagem de alunos com classificações positivas.
Resolução
a) A moda.
Moda é o valor que repete mais vezes, olhando para a tabela a classificação que mais repete é 10, pois repete 20 vezes, assim sendo, a MODA = 10.
b) A média aritmética.
c) A percentagem de alunos com classificações positivas.
Para tal, vamos indicar as classificações positivas e dividir pelo total das classificações.
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