Resolução do Exame de Matemática da 10ª classe do ano de 2011 – 2ª época
1. Assinale com (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmações que se seguem:
a) [(–1)3]5 = 15 → Falso
Atendendo a regra de potenciação, de expoente de um expoente, diz que os expoentes de única base podem multiplicar entre si.
[(–1)3]5 = (–1)15 = –1, não 15 como mostra a solução da alínea a), por isso que é falsa a alternativa.
b) √8 + √8 = √16 → Falso (F)
Para começar a adição ou subtração de raízes opera-se apenas quando temos os mesmos radicais, dessa feita, mante-se uma única raiz e adiciona-se ou subtraem-se os seus coeficientes, observe:
√8 + √8 = √16
1√8 + 1√8
(1+ 1)√8
2√8
c) |– ½| = 0,5 → Verdadeiro (V)
O módulo de qualquer número que seja, positivo ou negativo, o seu valor será sempre positivo, então ficamos com |– ½| = ½, e ½ é igual a 0,5. Então a alínea c), está correcta.
d) {1;2} ⊂]1;2[ → Falso (F)
{1;2}, quando uma solução, ou conjunto de soluções é apresentada em chavetas, significa que é solução de uma equação, e únicos números possíveis são escritos dentro das chavetas.
[1;2], os números dentro de intervalos, apresentam soluções de uma inequação, e para nosso caso existem inúmeras soluções possíveis, desde que seja maior que 1 e menor que 2.
Desta forma, {1;2} não está contido (⊂) no intervalo ]1;2[ .
Veja também: Resolução do Exame de Matemática 10ª classe do ano de 2011 – 1ª época
2. Resolva em IR:
Até o momento apenas determinamos o valor de n, vamos agora encontrar o valor de x, que é o propósito do exercício, substituindo o valor de n, na condição inicial, x2 = n.
Comentários da resolução
(1) e (2): Reorganização da equação, passando os membros do segundo para o primeiro membro, e efectuar a operação entre os termos semelhantes, ou seja, termos com as mesmas partes literal (variável).
(3) e (4): Por se tratar de uma equação biquadrática, o expoente máximo será do 4º grau (x4) podemos também rescrever como (x2)2, uma vez que a multiplicação de 2 por 2 dá 4, exactamente x4. E de seguida substitui-se cada parcela de x2 por n.
(5) e (6): Então, cada parcela de x2 foi substituída por n, e resultou numa equação quadrática em função da variável n, onde assim sendo, pode-se extrair o valor dos seus coeficientes, a, b e c.
(7); (8); (9) e (10): Por se tratar de uma equação quadrática, vamos antes determinar o valor de delta, então, após o cálculo de delta, que deu 100, conclui-se que delta é maior que 0, e assim sendo terá duas raízes reiais e distintas, ou seja, terá raízes diferentes, em outras palavras, n1 será diferente de n2.
(11) e (12): Uma vez delta calculado, usamos a equação do Bhaskara para encontrar as raízes da equação, como dissemos antes, a nova equação é expressa em função a n, dai a necessidade de encontrarmos as raízes, n1 e n2, aplicando todos os procedimentos matemáticos convenientes, ficamos com duas raízes de n, tal como previsto n1 é diferente de n2.
(13); (6); e (15): Olha a equação biquadrática é dada em função a x, mas ela foi transformada numa equação quadrática em função de n, mas o nosso objectivo, não era apenas encontrar os valores de n, mas sim os valores x, os valores de n, são na verdade valores auxiliares para encontrarmos os valores de x, assim sendo recorre-se a aquela substituição feita anteriormente onde x2 = n, onde o valor de x, será dada pela raiz quadrada de n, para n1 é impossível, pois não existe raiz quadrada de um número negativo em R, ficamos então apenas com o valor de n2, onde por fim deu-se a solução.
Comentário sobre a resolução
(1) e (2): Sendo uma equação, então ela apresenta dois membros, mandamos – √3 para o segundo membro, e nessa transição do 1º para o 2º membro, ocorre com mudança do sinal. Então o coeficiente 2 que está a multiplicar com o sen(x), e quando passa para o segundo membro passa a dividir.
(3): Chegado a esse ponto, é importante que você conheça a tabela trigonométrica, uma vez que a ideia é calcularmos o valor de x, não senx, então para isolarmos o x, faz-se o arcsen do valor que está no segundo membro.
(4): Olhado na tabela trigonométrica, o valor de x, cujo seno vale √3/2 é 60º. Logo, x = 60º, e olha que 60º está dentro do intervalo de 0 a 180º.
(5): Uma vez que o intervalo vai de 0 a 180 graus, vamos o subtrair o valor do primeiro ângulo encontrado por 180, resultando em 120º, e ola que 120º também esta dentro do intervalo de 0o a 180º.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática 10ª classe do ano de 2013 – 1ª época
3. Resolva o seguinte sistema de equações:
Comentário da Resolução
(1) e (2): Tratando-se de um sistema de equação linear com duas incógnitas, podemos recorrer a vários métodos de resolução, mas nesse exercício vamos usar o método de substituição, e nesse método podemos escolher uma das parcelas da equação, isolar e substituir na outra, nesse caso vamos isolar a segunda parcela para substituirmos na primeira parcela.
(3); (4) e (5): Uma vez isolado o valor de x da segunda parcela, substitui-se o valor de x na primeira parcela, sendo essa a parcela a trabalhar, de seguida faz-se o cálculo de mmc, e adiciona-se os termos semelhantes.
(6); (7) e (8): quando o denominador do primeiro membro for igual ao do segundo, pode-se se simplificar, ficando apenas com os numeradores, feito isso, calculou-se o valor de y.
(9); (10); (11) e (12): Uma vez encontrado o valor de y, vamos agora substituir na segunda parcela, a fim de determinarmos o valor de x.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática 10ª classe do ano de 2015 – 1ª época
4. Considere um triângulo equilátero de área igual a 45 cm2.
Determine a medida dos seus lados sabendo que esta excede a da altura em 1 cm.
Resolução
A medida dos lados excede a altura h, em 1 cm, então fica:
l = h + 1;
considerando a área A = 45 cm2, temos a seguinte resolução:
Comentário da Resolução
(1); (2) e (3): O triângulo equilátero é aquele que tem todos lados os iguais, e usamos uma fórmula do cálculo da área do triângulo, com o intuito de calcular o comprimento dos lados (l), e faz-se a substituição de lado por h +1, como mostra o ponto 2, de seguida segue-se com a substituição dos dados.
(4); (5): Feitas as substituições dos dados disponibilizados no exercício, temos uma equação quadrática em função a h, onde fez-se a identificação dos seus coeficientes para o cálculo de delta.
(7); (8) e (9): Após a substituição dos valores dos coeficientes, fez-se o cálculo do delta.
(10) e (11): Com recurso da equação da fórmula resolvente para o cálculo das raízes, encontrou-se 9 e -10, mas por se tratar de dimensões ficaremos com o valor positivo (9).
(12): como o objectivo é cálculo dos lados, recorremos a primeira equação do excedente, onde l = h + 1, uma vez encontrado o valor da altura, podemos substituir na fórmula e resultando em l = 9 + 1, logo l = 10 cm.
5. Na escola do João praticam-se apenas as modalidades de futebol (F) e de basquetebol (B). Sabe-se que dos 1000 alunos praticantes de desporto, 500 praticam basquetebol e 300 praticam as duas modalidades.
a) Quantos alunos praticam apenas basquetebol?
b) Quantos alunos praticam apenas futebol?
c) Quantos alunos praticam futebol?
Resolução
a) Quantos alunos praticam apenas basquetebol?
R: Praticam apenas Basquetebol 200 alunos.
b) Quantos alunos praticam apenas futebol?
R: Praticam Futebol apenas 500 alunos.
c) Quantos alunos praticam futebol?
R: Praticam Futebol 800 alunos.
6. Na figura ao lado, seja f o gráfico da função quadrática e g o gráfico da função do 1º grau:
a) Indique os zeros da função f.
b) Indique o contradomínio de f.
c) Indique os valores de x tais que f (x) = g (x).
d) Resolva g (x) <f (x).
e) Determine a expressão analítica de f (x).
Resolução
a) Indique os zeros da função f.
Zeros da função são todos os valores onde um gráfico corta o eixo dos x, assim sendo, o gráfico f, corta o eixo dos x, nos pontos –1 e 3, dessa forma, seus zeros da função são: x1 = –1 e x2 = 3.
b) Indique o contradomínio de f.
O contradomínio é dado no valor do y, concretamente o valor do Yv, ou seja, na região crescente da função, assim sendo, fica: CD = ] –∞; 4].
c) Indique os valores de x tais que f (x) = g (x).
Os gráficos f e g se cruzam no ponto x = 3, assim como no ponto y = 3, mas devemos indicar o valor x, não de y, dessa forma quando y = 3, o valor de x = 0, dessa forma temos: os valores de x tais que f(x) = g(x) são x = 0 e x = 3.
d) Resolva g (x) <f (x).
Nesse ponto devemos indicar o intervalo em que os valores do gráfico f são maiores que os valores do gráfico g. De salientar que o gráfico f é quadrático e g é linear, observando os gráficos pode-se tecer algumas conclusões:
Os resultados acimas foram obtidos a partir dos valores de x que foram substituídos nas suas respectivas funções, ou também pode-se usar uma régua graduada para verificar os seus valores correspondentes, pois bem, no ponto x = 0 e x = 3, tem os mesmos correspondentes em y, mas no ponto x = 1 e x = 2, g(x) < f(x), então tanto ficamos com: g(x) < f(x) = ]0; 3[.
e) Determine a expressão analítica de f (x).
Comentário da resolução
(1) e (2): Escreve-se primeiramente a fórmula para determinação da expressão analítica, isso no ponto 1, e faz-se as devidas substituições, olhando para o gráfico, quando y = 3, o valor de x = 0, razão pela qual, substituímos y por 3 e x por 0, e os valores de x1 e x2 já são conhecidos, então é só uma questão de substituir.
(3); (4); (5) e (6): Realização deoperações matemática básica, onde no final determina-se o valor de a, que vai ditar o sentido da concavidade da parábola, uma vez que o valor de a é negativo, então o sentido da concavidade estará voltado para baixo, o mesmo que ilustrado na figura no gráfico f.
(7); (8); (9): Escreve-se a fórmula da equação analítica, onde de seguida faz-se a substituição apenas dos valores de x1 e x2, e assim como do valor de a,
(10); (11) e (12): Realização de operações básicas matemáticas, em particular o uso da propriedade distributiva da multiplicação, feito isso, adiciona-se ou subtraem-se termos semelhantes, reduzidos num único termo, assim no final temos a expressão analótica da função quadrática f.
7. As notas de 10 alunos, duma turma da 10ª classe no exame de Matemática são as seguintes: 12, 16, 20, 15, 19, 18, 20, 18, 15, 20.
a) Quais são os valores de A, B, C e D da tabela ao lado?
b) Represente num diagrama de barras a frequência absoluta.
c) Determine a moda e a mediana das notas.
Resolução
a) Quais são os valores de A, B, C e D da tabela ao lado?
b) Represente num diagrama de barras a frequência absoluta.
c) Determine a moda e a mediana das notas.
Moda é o valor que mais repete, logo o M0 é 20, pois repetiu 3 vezes.
Mediana é o valor central, logo a mediana é 18.