RESOLUÇÃO DO EXAME DE ADMISSÃO DE MATEMÁTICA – I DA UEM DO ANO 2024
Parte 3 (Exer: 11 – 15)
11. Uma linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma Cp14. Escolhido, ao acaso, um elemento dessa linha, qual a probabilidade de ele ser o número 14?
Resolução
Uma linha do Triângulo de Pascal corresponde a uma linha de coeficientes binomiais. A linha é constituída por todos os elementos da forma Cp14, com p = 0, 1, 2, …,14. Portanto, essa linha tem 15 elementos (desde C014 até C1414).
O problema pergunta: escolhido ao acaso um elemento dessa linha, qual a probabilidade de ele ser o número 14?
Precisamos ver em que posições (valores de p) o coeficiente binomial Cp14 é igual a 14.
Sabemos que:
C114 = 14 (escolher 1 de 14)
C1314 = 14 (por simetria: C1314 = 14)
Existem outros? Vamos verificar:
C014 = 1
C114 = 14
C214 = 91 (não é 14)
C314 = … maior que 14, etc.
C1214 = C214 = 91
C1314 = 14
C1414 = 1
Portanto, apenas dois elementos são iguais a 14: C114 e C1314.
Assim, na linha com 15 elementos, há 2 elementos que são iguais a 14.
A probabilidade de escolher ao acaso um desses é:
Alínea C.
Resolução
O binómio de Newton é dada na forma canónica de seguinte maneira: (ax + b)n
E em função do binómio dado, pode-se indicar que o valor de: a = x; b = a/x e n = 6
E o seu desenvolvimento é dado de seguinte fórmula:
O valor de p é um número inteiro positivo, começando em 0 até ao valor de n = 6, ou seja, p = 0, 1, 2, …, 6.
Uma vez que se pretende encontrar o valor do coeficiente do termo x4, repare que nessa notação x4, o expoente é 4, mas o expoente do binómio é 6, então fica:
k = 6 – 4 = 2.
Encontrado o valor de k, vamos então determinar o valor de p, que irá indicar o número de iterações nesse desenvolvimento, desse modo fica:
p + 1 = 2
p = 1
O coeficiente do termo x4 é 6a, uma vez que esse coeficiente é igual 12, tem-se:
Alínea A.
13. Seja U o espaço de resultados de uma experiência aleatória e A e B dois acontecimentos. Sabendo que P(A) = 30%, P(AUB) = 70% e que A e B são incompatíveis, qual o valor de P(B)?
A. 21% B. 40% C. 60%
D. 61% E. 100%
Resolução
Para resolver isso, usamos a fórmula da probabilidade da união de dois eventos incompatíveis (mutuamente exclusivos). Se A e B são incompatíveis, então P(A ∩ B) = 0. A fórmula fica: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Dados:
P(A) = 30%
P(A ∪ B) = 70%
Então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
70% = 30% + P(B)
P(B) = 70% – 30% = 40%
Portanto, P(B) = 40%.
Alínea B.
Resolução
Para melhor percepção dessa questão devemos ter conta o seguinte:
O numerador, pode ser zero, pois zero dividido por qualquer outro número, é igual a zero, e isso é válido.
Ainda no numerador, por ter uma raiz é índice par (índice é 2) deve ser um valor positivo, ou seja, qualquer valor maior que zero.
Juntando as duas condições para o numerador, deve ser um valor igual ou maior que zero (Numerador ≥ 0).
Já o denominador não deve ser igual a 0, pois qualquer número dividido por 0, simplesmente não existe (é infinito), nesse caso deve ser um valor diferente de 0, ou seja, (Denominador ≠ 0).
Olhando para o gráfico e em função do sentido da inequação, a região negativa (em azul), compreende entre [-3;3], ou seja: −3 ≤ x ≤ 3.
Agrupando as soluções do numerador e do dominador num eixo graduado tem-se:
Alínea E.
Resolução
Sabemos que a função cosseno no círculo trigonométrico varia entre -1 e 1, ou seja:
Alínea C.
Veja também: RESOLUÇÃO DO EXAME DE ADMISSÃO DE MATEMÁTICA – I DA UEM DO ANO 2024 Parte 2 (6 – 11).