RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025
PARTE V (QUESTÃO 33 – 40)
Resolução
- Passo 1: Aplicar a regra da derivada do logaritmo
Passo 2: Derivar u(x)
Passo 3: Aplicar a fórmula
Alternativa D
34. Sabe-se que g(x) = g’(x) então:
A. g(x) = 5 B. g(x) = 3ex C. g(x) = 2cos(x)
D. g(x) = x2 +1 E. g(x) =√x
Resolução
Sabe-se que g(x) = g’(x). Entretanto, isso significa que a função é igual à sua própria derivada.
Testar cada alternativa
A. g(x) = 5
g′(x) = 0
Como: 5 ≠ 0
❌ Não satisfaz.
B. g(x) = 3ex
Derivando:
g′(x) = 3ex
Logo, g(x) = g′(x)
✅ Satisfaz a condição.
C. g(x) = 2cos(x)
g′(x) = −2sen(x)
Em geral, 2cos(x) ≠ −2sen(x)
❌ Não satisfaz.
D. g(x) = x2 + 1
g′(x) = 2x
Logo, g(x) = g′(x)
❌ Não satisfaz.
E. g(x) = √x
g′(x) = 1/2√x
Não são iguais.
❌ Não satisfaz.
Alternativa B
35. Considere uma função definida por y = kx2 + 10x + 1, (k ≠ 0). Para que o declive da recta tangente à curva no ponto de coordenada x = 2 seja 2, o valor de k deve ser:
A. k = 2 B. k = -3 C. k = ½ D. k = -2 E. k = 1/3
Resolução
Passo 1: Derivar a função
A derivada fornece o declive da recta tangente:
y = kx2 + 10x + 1
y′ = 2kx + 10
Passo 2: Calcular o declive em x = 2
Substituindo x = 2:
y′ = 2kx + 10
y′(2) = 2k(2) + 10
y′(2) = 4k + 10
Passo 3: Impor a condição do enunciado
O declive deve ser igual a 2, ou seja, y′(2) = 2:
y′(2) = 4k + 10
2 = 4k + 10
4k = -8
k = -2
Alternativa D.
36. Qual é a equação da recta tangente ao gráfico da função f(x) = sen(πx) no ponto de abcissa x = 1?
A. y = 1 B. y = 1 – x C. y =-πx D. y =π– πx E. y = πx – 1
Resolução
Passo 1: Encontrar o ponto de tangência
Calculamos f(1):
f(x) = sen(πx)
f(1) = sen(π⋅1)
f(1) = 0
Logo, o ponto de tangência é: (1,0).
Passo 2: Calcular a derivada
Temos: f(x)=sen(πx)
f′(x) = πcos(πx)
Passo 3: Calcular o declive em x = 1
f′(x) = πcos(πx)
- f′(1) = πcos(π(1))
- f′(1) = πcos(π)
- f′(1) = π(-1)
- f′(1) = −π
Com efeito, o declive da recta tangente é −π.
Passo 4: Escrever a equação da recta tangente
De acordo com a fórmula da recta:
y − yo = m(x − xo)
onde:
- m = −π,
- (xo,yo) = (1,0)
Então:
- y – 0 = −π(x − 1)
- y = −πx + π
- y = π – πx
Alternativa D.
37. Seja f(x) = x3 – 3x2 – 24x + 1 uma função de domínio R. Indique qual das afirmações está correcta:
A. f(x) tem mínimo em x = 4 e máximo em x = -2.
B. f(x) tem dois máximos em x = -4 e x = 3.
C. f(x) tem mínimo em x = 2.
D. f(x) tem mínimo em x = 0 e máximo em x = 2
E. f(x) não possui extremos.
Resolução
Passo 1: Calcular a derivada
f(x) = x3 – 3x2 – 24x + 1
- f′(x) = 3x2 − 6x – 24
- f′(x) = 3(x2 − 2x − 8)
- f′(x) = 3(x − 4)∙(x + 2)
Passo 2: Determinar os pontos críticos
Em princípio, os pontos críticos verificam:
f′(x) = 0
3(x−4)(x+2) = 0
x – 4 = 0
x = 4
ou
x + 2 = 0
x = −2
Passo 3: Estudar o sinal da derivada
f′(x) = 3(x−4)(x+2)
| Intervalo | Sinal de f'(x) | Comportamento |
| x < -2 | (+) | Crescente |
| -2 < x < 4 | (-) | Decrescente |
| x > 4 | (+) | Crescente |
Passo 4: Identificar máximo e mínimo
Em x = −2:
- a função passa de crescente para decrescente;
- portanto, há um máximo local.
Em x = 4:
- a função passa de decrescente para crescente;
- portanto, há um mínimo local.
Alternativa A.
38. Considere uma função f de domínio R cuja derivada é dada por f’(x) = 2x∙e 1 – x^2. Indique os intervalos em que gráfico de f a concavidade voltada para cima.
Resolução
Passo 1: Calcular a segunda derivada
Passo 2: Estudar o sinal de f′′(x)
Em síntese, pelas propriedades de módulos, e garantindo que, a concavidade seja voltada para cima o intervalo será:
Alternativa B.
39. Determine a primitiva de ex + 1.
Resolução
Alternativa E.
40. Qual o resultado da expressão (3 – 2i)∙(-4 + i)?
A. 10 + 2i B. 11i C. -12 – 2i D. -10 + 11i E. -10
Resolução
Passo 1: Aplicar a propriedade distributiva
(3 – 2i)(-4 + i) = 3(-4) + 3(i) + (-2i)(-4) + (-2i)(i)
(3 – 2i)(-4 + i) = -12 + 3i + 8i – 2i2
Passo 2: Usar a propriedade i2 = -1
- -12 + 3i + 8i – 2i2
- -12 + 3i + 8i – 2(-1)
- -12 + 3i + 8i + 2
Passo 3: Reduzir termos semelhantes
Parte real: -12 + 2 = -10
Parte imaginária: 3i + 8i = 11i
Logo: (3 – 2i)(-4 + i) = -10 + 11i
Alternativa D.
Veja também: RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA I DA UEM DO ANO DE 2025: PARTE IV (QUESTÃO 25 – 32)