Resolução de Exame de Matemática da 10ª Classe de 2020 – 1ª Chamada
1. Considere o gráfico representado na figura abaixo. Determine:
a) O domínio da função.
b) O contradomínio da função.
c) Os zeros da função.
d) O vértice da parábola.
e) A variação do sinal da função.
f) A variação da função (monotonia).
g) A equação do eixo de simetria.
h) O sentido da concavidade do gráfico da função.
i) A expressão analítica da função que define o gráfico.
Resolução
a) O domínio da função.
Domínio corresponde aos valores de x, e numa função quadrática, o domínio sempre será números reais, ou seja, Df: x ϵ IR.
b) O contradomínio da função.
Verifica-se no eixo dos y, e numa equação quadrática o contradomínio vem-se, sempre na região crescente da função, ou sejam CD: y ϵ [-4; +∞[.
c) Os zeros da função.
É o ponto onde o gráfico corta ou passa pelo eixo dos x, nesse caso o gráfico corta o eixo dos x em dois pontos, -2 e 2, então esses são os zeros da função, assim fica, zeros da função: x = {-2; 2}.
d) O vértice da parábola.
Os vértices da parola, é ponto onde a função muda de sentido, ou seja, é o ponto onde forma uma “bacia”, olhando para o gráfico, temos os seguintes vértices, V(0; -4).
e) A variação do sinal da função.
A parte do gráfico que estiver acima do eixo de x, é positiva e a parte que estiver abaixo negativo, dessa forma tabelando temos:
| x | ]- ∞; -2[ | -2 | ]-2;2[ | ]2; +∞[ |
| y | + | 0 | – | + |
f) A variação da função (monotonia).
São regiões onde o gráfico cresce e decresce, tendo como limite os vértices da função, dessa forma tabelando temos:
g) A equação do eixo de simetria.
A simetria, é valor de x, que divide o gráfico em duas partes iguais, a simetria numa função quadrática é igual ao valor de x vértice, dessa forma temos: x = 0.
h) O sentido da concavidade do gráfico da função.
O gráfico tem concavidade voltada para cima.
i) A expressão analítica da função que define o gráfico.
Para determinarmos a expressão analítica, devemos saber ter os seguintes dados, os zeros da funca que são x1 = -2 e x2 = 2, assim como o ponto dado no gráfico, para y = 5, x = 3.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2011 – 1ª época
2. Resolva a inequação x2 – 5x + 4 ≥ 0
Resolução
Os moldes de resolução de uma inequação quadrática não difere-se tanto de uma equação quadrática, vamos antes porém determinar as raízes dessa inequação, usando a fórmula resultante, dessa forma termos:
A particularidade de uma inequação quadrática inicia aqui, observado bem a inequação, e traduzindo para linguagem corrente, para qualquer valor de x, que quando substituído na inequação deia um valor maior ou igual a zero, então esse valor faz parte da solução, caso não, não faz parte do conjunto solução, dessa forma, para chegarmos a solução façamos isso:
Traçar uma recta x, cujos números devem incluir as raízes. Mas deve-se ter em conta que os valores das raízes não podem ser usados, isto é, tranca-se os valores das raízes, apenas podemos usar os valores que estão a esquerda ou à direita das raízes, MAS NUNCA A PRÓPRIA RAIZ.
Uma vez que 1, é a raiz, e está trancada, vamos então pegar o valor a esquerda de 1 que é o zero, e vamos substituir ma inequação, dessa forma teremos:
Olha que essa preposição é verdadeira, realmente 4 é maior ou igual que zero. Agora façamos a seguinte análise, olha que o valor de x = 0, se encontra-se a esquerda de 1, e o símbolo matemático que representa esquerda é (<), então isso fica x ≤ 1.
Se uma parte está na esquerda, automaticamente outra parte vai para a direita, dessa forma fica x ≥ 4.
Então como solução temos: x ≤ 1 ou x ≥ 4, colocando no eixo temos os seguintes intervalos:
NB: Nesse exercício foi mera coincidência, em termos pego o valor a esquerda de 1 nesse caso x = 0, e termos a preposição verdadeira, pois a vezes que a preposição se encontra a direita, então faça sempre os testes até encontrar a preposição verdadeira.
3. Sejam dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = log2 x + 1.
a) Represente-as graficamente, no mesmo Sistema Cartesiano Ortogonal.
b) Determine a equação da assimptota horizontal, para o gráfico de f(x).
c) Determine a equação da assimptota vertical, para o gráfico de g(x).
Resolução
a) Represente-as graficamente, no mesmo Sistema Cartesiano Ortogonal.
Para cada uma das funções, vamos construir uma tabela de valores x, que serão substituídos no x da função, desse modo temos:
b) Determine a equação da assimptota horizontal, para o gráfico de f(x).
A assimptota horizontal (AH), é o limite que corta o eixo dos y, nesse caso o gráfico f(x) tem como AH, y = 1.
c) Determine a equação da assimptota vertical, para o gráfico de g(x).
A assimptota vertical (AV), é o limite que corta o eixo dos x, nesse caso o gráfico g(x) tem como AV, x = 0.
4. Desenvolva o seguinte logaritmo, aplicando as propriedades:
Resolução
Comentário da Resolução
Uma das propriedades dos logaritmos, é que se o logaritmando estiver elevado a uma potência n, essa potência passa a multiplicar com todo o logaritmo, essa propriedade foi aplicada no ponto (1). Feito isso, os coeficientes ½ e 2, estão o multiplicar entre si, dessa multiplicação o resultado é 1, sendo 1 elemento neutro da multiplicação, manteou-se apenas o logaritmo, conforme ilustrado no ponto (2). Sucede que no ponto (2), o logaritmnando tem o mesmo valor que a base, e sempre que assim for o resultado é 1 o ponto (3) descreve isso. Então feito a divisão temos o resultado apresentado na linha (4).
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2022 – 1ª chamada
5. A figura abaixo, representa um triângulo rectângulo com AB = BF. Determine:
a) A medida de x.
b) A amplitude de α.
c) Cosα, sabendo que senα = 0,7.
Resolução
a) A medida de x.
O Teorema de Pitágoras, diz que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo rectângulo, é igual ao quadrado da hipotenusa, dessa forma, matematicamente temos: h2 = a2 + b2.
A hipotenusa é o segmento AF = 6√2
Cateto Adjacente é segmento AB = x
Cateto Oposto é o segmento BF = x
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
Comentário da Resolução
O segmento AF é a hipotenusa e os segmentos AB e BF são os respectivos catetos de dimensões iguais a x, pois tem as mesmas medidas (1), então uma vez identificada os segmentos fez-se a substituição dos respectivos valores, com a finalidade de encontrar o valor de x, que corresponde a medida dos catetos, essas resoluções são notáveis nos pontos (3) à (8), mas olha que por se tratar de medidas de comprimento, apenas considera-se números positivos, razão pela qual o valor de x é 6 e não -6, conforme indica o ponto (9).
b) A amplitude de α.
Para determinarmos a amplitude do ângulo α, podemos optar diversas razões trigonométricas, desde o seno, cosseno e tangente. Portanto, de referir que as a razão trigonométrica mais usada para calculo de ângulo é o tangente, e para isso faremos o uso dos valores já conhecidos, vamos resolver e todas as formas possíveis para melhor percepção:
A hipotenusa é o segmento AF = 6√2
Cateto Adjacente é segmento AB = x = 6
Cateto Oposto é o segmento BF = x = 6
Note que para todas as razões trigonométricas, o valor do ângulo α é o mesmo, isto é, é igual a 45º, então podes optar por um dos métodos.
c) Cosα, sabendo que senα = 0,7.
A partir da equação fundamental da trigonometria, podemos resolver esse problema, equação essa formulada a partir da equação de Pitágoras que diz, a soma dos quadrado de seno e cosseno é igual a 1, então uma vez conhecido o valor de sen(α) = 0,7 podemos determinar o cos(α), dessa forma:
O valor de cos(α) pode ser 0,714 ou -0,714, esses valores, positivos ou negativos irá depender do quadrante em que se encontra o ângulo.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2015 – 1ª época
6. Para saber o número de pessoas por agregado familiar, de determinado quarteirão, foram inqueridas 25 famílias e obteve-se os seguintes resultados:
3, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 2, 5, 4, 3, 6.
a) Construa uma tabela de frequências (absoluta, relativa e percentual).
b) Determine:
i) Média de pessoas por agregado familiar;
ii) Mediana de pessoas por agregado familiar;
iii) Moda de pessoas por agregado familiar.
c) Qual é a população em estudo?
d) Identifique a amostra da população em estudo.
Resolução
3, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 2, 5, 4, 3, 6.
a) Construa uma tabela de frequências (absoluta, relativa e percentual).
Para construirmos a tabela de frequências, deve-se identificar o número de amostra por agregado. Contudo, nesse caso olhando para a distribuição acima, temos uma distribuição de 1 à 6, que repetem varias vezes, essa repetição é a frequência absoluta.
| No de agregados (xi) | freq. absoluta (fi) | freq. relativa | freq. relativa (%) |
| 1 | 2 | 0,08 | 8 |
| 2 | 3 | 0,12 | 12 |
| 3 | 5 | 0,2 | 20 |
| 4 | 4 | 0,16 | 16 |
| 5 | 5 | 0,2 | 20 |
| 6 | 6 | 0,24 | 24 |
| Total | n = 25 | 1 | 100 |
Sempre deve fazer a seguinte a verificação, o somatório de todos os valores da frequência relativa deve ser igual a 1, enquanto da frequência relativa percentual, deve ser igual a 100%.
b) Determine:
i. Média de pessoas por agregado familiar;
A média é calculada pelo somatório das multiplicações parciais dos agregados familiares pela sua frequência absoluta e dividir pelo somatório da frequência absoluta, dessa forma fica:
ii. Mediana de pessoas por agregado familiar;
Para determinarmos a mediana (Me), devemos agrupar os dados em ordem crescente ou decrescente, e de seguida eliminar os elementos equidistantes, ou seja, eliminar um elemento no canto esquerdo e outro no direito, até que que se encontre o valor mediano dessa forma fica:
Note que o único número não abrangido pela seta, é o 4, então a mediana (Me) é 4, ou seja, Me = 4.
iii. Moda de pessoas por agregado familiar.
A moda é o valor que mais repete, ou seja, é o valor com maior frequência absoluta, nesse caso o valor com maior frequência absoluta é o 6, logo fica, Mo = 6.
c) Qual é a população em estudo?
Polução é um conjunto de indivíduos ou objectos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Assim sendo, nesse caso a população são os agregados familiares do quarteirão.
d) Identifique a amostra da população em estudo.
Amostra é uma parte da população. Nesse caso a amostra são as 25 famílias do quarteirão em causa.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática do ano de 2013 – 1ª época