Equação Modular |f(x)| = a
Equação Modular
A equação modular, é toda aquela equação que pelo menos tem uma incógnita (variável) dentro de um módulo.
Por exemplo:
a) 3|x + 1| = 1
b) |x – 3| = x – 2
c) |x2 – 4| = |x + 1|
Então, para resolver qualquer equação modular, é imperioso o conhecimento de dois conceitos fundamentais, a definição de módulo:
Veja também: Módulo de um número real.
Equação modular do tipo |f(x)| = a
Para melhor percepção sobre os moldes de resolução de uma equação modular, preste atenção nos seguintes módulos abaixo:
a) |–1| = 1
b) |1| = 1
c) |0| = 0
A partir dos módulos apresentados acima, nota-se que independente do sinal do número dentro do módulo, o resultado será sempre positivo, excepto se o número que estiver dentro do módulo for zero, desse modo, podemos dizer que o resultado de um módulo deve ser sempre um número igual ou maior que zero, chamamos a essa condição de domínio de existência de uma equação modular.
Portanto, antes de partir para resolução da equação modular, a primeira coisa à analisar é a condição de existência, isto é:
Condição de existência:
a ≥ 0
Isto quer dizer que não existe módulo de nenhum número que tem o um valor negativo como resultado.
Exemplo:
a) Resolva a seguinte equação modular
a) |x – 5| = 9
1º: Verificar a condição de existência:
Note que essa equação é do tipo |f(x)| = a, desse modo, o valor que estiver fora do módulo, deve ser maior ou igual a zero, nesse caso o valor que está fora do módulo é 9, e repare que 9 é maior ou igual a zero, assim sendo a condição é válida.
2º: Definição do módulo:
Então, fica visível que o módulo de x, desmembra-se em duas parcelas, então faremos isso para o nosso caso em estudo, que serão resolvidas independentemente uma da outra, ficando:
Na primeira parcela temos:
E na segunda parcela, temos:
Fica então concluído que temos duas possíveis soluções.
Outra forma de resolução (a mais difundida)
|x – 5| = 9
Note que os resultados não mudaram.
Podemos fazer a verificação só para provarmos:
Para x = 14
Quando x = – 4
Uma vez que para ambas soluções tivemos o mesmo valor, isso mostra que a resolução está certa.
Uma nota de atenção, é sempre bom fazer a verificação depois da resolução, só para verificar a s a resolução esta certa ou não, assim evitas errar!
b) |2x – 3| = – 5
Note que essa equação é do tipo |f(x)| = a, desse modo, o valor que estiver fora do módulo, deve ser maior ou igual a zero, nesse caso o valor que está fora do módulo é –5, e repare que –5 é menor que zero, assim sendo a condição não é válida, consequentemente não tem solução em números reais.
Sol: { }
c) |x2 – 5x + 5| = 1
Note que essa equação é do tipo |f(x)| = a,desse modo, o valor que estiver fora do módulo, deve ser maior ou igual a zero, nesse caso o valor que está fora do módulo é 1, e repare que 1 é maior ou igual a zero, assim sendo a condição é válida.
|x2 – 5x + 5| = 1
A primeira parcela será:
Estamos perante a uma equação quadrática, vamos então calcular as suas raízes, sabendo que: a = 1, b = – 5 e c = 4.
A segunda parcela será:
Estamos perante a uma equação quadrática, vamos então calcular as suas raízes, sabendo que: a = 1, b = – 5 e c = 6.
