RESOLUÇÃO DO EXAME DE ADMISSÃO DE MATEMÁTICA – I DA UEM DO ANO 2024
Parte 1 (Exer: 6 – 10)
Resolução
Para melhor percepção e identificação dos valores crescente dessa função, vamos esboçar o seu gráfico, para isso, devemos:
Primeiro: determinar os zeros da função, para isso deve-se igualar a função a zero, e resolver a equação resultante.
Segundo: determinar a ordenada na origem, para isso basta substituir o valor de x por 0 (x = 0).
Terceiro: esboçar o gráfico
Olhando para o gráfico, e observando apenas a região crescente para eixo x, fica claro que o gráfico é crescente entre -2 até 0, e volta a crescer novamente a partir de 2 a mais infinito, nesse caso a solução será dada por:
Alínea A.
7. O Paulo e Luísa vão a um teatro com quatro amigos. Qual a probabilidade do Paulo e da Luísa se sentarem juntos:
Resolução
Vamos resolver passo a passo.
Dados do problema
- Pessoas: Paulo (P), Luísa (L) e 4 amigos → total 6 pessoas
- Queremos a probabilidade de Paulo e Luísa sentarem juntos
Número total de disposições possíveis
Uma vez que não há restrições, então as 6 pessoas podem sentar-se de 720 maneiras diferentes, que corresponde ao factorial de 6 (6! = 720).
Casos favoráveis (Paulo e Luísa juntos)
Considere Paulo e Luísa como um bloco (PL ou LP).
- Esse bloco + 4 amigos → 5 elementos
- Permutações desses 5 elementos: 5! = 120
- Dentro do bloco, Paulo e Luísa podem trocar de lugar: 2! = 2 (PL ou LP)
Casos favoráveis: 5! × 2 = 240
Probabilidade
Alínea C.
8. Numa caixa com 12 compartimentos, vão arrumar-se 10 copos: 7 amarelos, 1 verde, 1 azul e 1 roxo. Em cada compartimento cabe um copo. De quantas manerias diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?
Resolução
1. Escolha dos lugares para os copos amarelos:
Existem 12 compartimentos, e os 7 copos amarelos são idênticos. Escolhemos 7 compartimentos para colocá-los, o que pode ser feito de C127 maneiras (combinações de 12, tomados 7 a 7).
2. Distribuição dos copos restantes:
Após colocar os copos amarelos, sobram 5 compartimentos (12 – 7 = 5). Entre esses, devemos colocar os 3 copos distintos (verde, azul e roxo). Escolhemos 3 desses 5 compartimentos para os copos distintos e, como eles têm cores diferentes, ordenamos os 3 copos nos compartimentos escolhidos. Isso pode ser feito de A53 maneiras (arranjos de 5, tomados 3 a 3), equivalente a C53 × 3!
3. Cálculo total:
O número total de maneiras é o produto:
C127 × A53 = 792 × 60 = 47 520.
Alínea B.
9. De quantas maneiras podem ser escolhidos um presidente e um vice-presidente entre um grupo de 20 pessoas?
A. 190 B. 40 C. 400 D. 380 E. 480
Resolução
Para calcular o número de maneiras de escolher um presidente e um vice-presidente entre 20 pessoas, temos:
- Para presidente: 20 escolhas possíveis.
- Depois de escolher o presidente, restam 19 pessoas para o vice-presidente.
Portanto, pelo princípio fundamental da multiplicação, o número total é:
20 × 19 = 380.
Outra forma de calcular:
Uma vez que a ordem importa (presidente é diferente de vice), então é um arranjo de 20 pessoas tomadas 2 a 2:
Alínea D.
10. Uma empresa pretende oferecer 3 telefones aos seus funcionários, escolhendo aleatoriamente duas mulheres e um homem. Sabendo que na empresa trabalham 50 mulheres e 20 homens de quantas formas podem ser dados os telefones?
A. C703 – C502 B. C502 – 20 C. C502
D. C502 × 20 E. C703
Resolução
Temos:
- 50 mulheres
- 20 homens
A empresa quer oferecer 3 telefones idênticos a funcionários, mas com a condição:
Exactamente 2 mulheres e 1 homem devem receber os telefones. Os telefones são iguais, então a ordem entre os escolhidos não importa apenas quem recebe, logo estamos perante a uma combinação.
Escolha das mulheres
Precisamos escolher 2 mulheres entre as 50 disponíveis.
Isso é uma combinação (a ordem não importa):
Ou seja, há 1225 maneiras de escolher 2 mulheres.
Escolha do homem
Precisamos escolher 1 homem entre os 20 disponíveis:
Princípio multiplicativo
Como a escolha das mulheres e do homem são independentes, multiplicamos as possibilidades:
Portanto, há 24 500 formas diferentes de distribuir os telefones obedecendo à condição.
Alínea D.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática I da UEM 2024 – Parte 1 (1 – 5).