Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2013 – 1ª época
1. Assinale com (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmações que se seguem:
a) -4 ∈ IR → Verdade (V)
O Conjunto dos Números Reais (IR), envolve todos outros conjuntos numéricos, exceptuando apenas o conjunto de números complexos, ou seja, números imaginários, então -4 pertence sim ao conjunto R, logo a afirmação é Verdadeira (V).
b) Q– ⊂ R– → Verdade (V)
Q– corresponde subconjunto dos números racionais não-positivos, ou seja, subconjunto de números racionais negativos, incluindo o zero.
Enquanto, R– corresponde subconjunto dos números reais não-positivos, ou seja, subconjunto de números racionais negativos, incluindo o zero, uma vez que o conjunto dos números reais envolve todos outros demais conjuntos, então, o conjunto Q– está incluso no conjunto R–, dito isto, então é Verdade (V).
c) {1; 2} = [1; 2] → Falso (F)
Então, essa questão tem dado rasteira a muitos estudantes, que nem sequer analisam os dados e logo correm em chutar qualquer opção, mas vamos aqui analisar ponto por ponto afim de termos o seu verdeiro valor lógico.
{1; 2}: Os valores que são apresentados em chavetas {…}, indicam o conjunto solução de uma equação, e no eixo dos valores numéricos, únicos pontos que serão cortados será os números que constam dentro do conjunto solução, nesse caso em concreto, apenas os valores 1 e 2 que satisfazem a equação.
[1; 2]: Quando os valores que são apresentados em parenteses rectos, aberto ou fechado […],indicam o conjunto solução de uma inequação, e no eixo dos valores numéricos, únicos pontos que serão cortados será todos os números que constam dentro do desse intervalo, nesse caso em concreto, os valores 1; 1,1; 1,2… 1.9 e 2 faram parte do conjunto solução da inequação.
Entretanto, analisada cada situação podemos afirmar que é Falsa (F).
d) R+ ∩ R– = {0} → Falso (F)
R+ = {x Є R / x ≥ 0} – conjunto dos números reais positivos.
R– = {x Є R / x ≤ 0} – conjunto dos números reais negativos
Vamos representar esses dois conjuntos no eixo graduado.
Feito isso verifica-se que não tem solução, pois não tem uma região de intercessão. Então é Falso (F).
2. Resolva o seguinte sistema:
Resolução
Para resolver esse sistema de inequação linear, podemos recorrer a vários métodos, mas como o propósito é facilitar, vou resolver pelo método mais fácil, que consiste em separar as parcelas do sistema e resolver de forma independente e no final representaremos as soluções no único eixo para verificar-se os pontos em ambas as soluções se cruzam, dessa forma temos:
1ª Parcela:
Vamos determinar o mmc primeiramente para prosseguirmos:
Agora, vamos somar ou subtrair termos semelhantes:
2ª Parcela:
Vamos determinar o mmc primeiramente para prosseguirmos:
Agora, vamos somar ou subtrair termos semelhantes:
Depois de resolvido separadamente, as soluções encontradas forma as seguintes:
Representando essas soluções no eixo graduado, teremos o seguinte:
Observa que de -∞ até ½ as duas soluções há uma intersecção entre elas, então essa é a solução do sistema.
Sol: ] -∞; ½ ]
3. Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) 3x2 (x2 – 5) = 5 – x2
Resolução
Para resolver essa equação vamos primeiramente fazer a multiplicação distributiva entre os factores, e posteriormente mover elementos do segundo membro para o primeiro, então a partir da equação resultante iremos proceder com outros cálculos a fim de determinarmos a sua solução.
Atenção, na mudança de um membro para outro, ocorre sempre com a mudança de sinal.
Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação e mudar de membro.
A equação resultante é uma equação biquadrática, e para a sua resolução, vamos aplicar os meios convenientes, primeiro vamos transformar a equação biquadrática em quadrática de seguinte maneira:
Para efectiva essa transformação, vamos substituir a variável x2 por uma variável qualquer e diferente de x, dessa forma temos:
Seja: x2 = k
Chegado a esse ponto já temos a equação quadrática, com coeficientes (a = 3; b = -14 e c = -5) assim sendo, vamos determinar o valor de delta e depois as suas raízes.
Uma vez determinados os valores de k, vamos agora determinar os valores de x, que é o pedido a resolver, para isso vamos buscar a condição imposta logo no princípio da resolução (x2 = k), assim temos:
Resolução
Para resolução desse exercício, primeiro devemos analisar o intervalo que x pertence, olhando para condição acima dada, o valor do angulo x, deve ser maior que 0o e menor que 90º, nesse caso, o ângulo x deve ser agudo.
Entretanto, observa-se que tanto no primeiro como no segundo membro, temos cosseno, então durante a resolução vamos eliminar o cosseno e deixar apenas o argumento, assim temos:
OBS: Observa que o valor do ângulo calculado, é maior que 0o e menor que 90º, então isso significa o valor do ângulo calculado pertence ao intervalo da condição imposta.
4. A soma dos quadrados de três números naturais consecutivos é 50. Determine esses números.
Resolução
Nesse exercício é necessário que percebamos alguns conceitos fundamentais, para melhor clarificar a questão:
Soma dos quadrados: quer dizer que devemos somar (adicionar) os quadrados de cada número, ou seja, a adição dos números elevados a dois.
Três números naturais consecutivos: Sabe-se que números naturais são aqueles inteiros e positivos, então números consecutivos são aqueles que são seguidos, por exemplo, 1, 2 e 3, são números consecutivos.
A partir do exemplo dos números consecutivos 1, 2 e 3 pode-se tirar algumas conclusões:
1 = 1
2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
Agora vamos considerar 1 = x
1 = 1 ⇒ 1 = x
2 = 1 + 1 ⇒ x + 1
3 = 1 + 2 ⇒ x + 2
A soma dos quadrados desses números deve ser igual a 50, assim temos:
Chegado a esse ponto já temos a equação quadrática, com coeficientes (a = 3; b = 6 e c = -45) assim sendo, vamos determinar o valor de delta e depois as suas raízes.
Então, encontramos duas soluções, x = 3 e x = -5, mas o enunciado, diz que o número deve ser natural, e olha que número natural é inteiro e positivo, nesse caso o número a usar será o x = 3.
Agora que já sabemos o número a usar, vamos determinar os tais números consecutivos:
x ⇒ x = 3
x + 1 ⇒ 3 + 1 = 4
x + 2 ⇒ 3 + 2 = 5
Os números consecutivos são: 3; 4 e 5.
5. Dos 50 participantes de uma conferência sobre Ciência e Tecnologias, 5 falam a língua inglesa e portuguesa, 20 falam a língua portuguesa e 3 não falam nenhuma das duas línguas.
a) Represente os dados num diagrama de Venn.
b) Determine o número de participantes que falam somente a língua inglesa.
Resolução
Nesse exercício o número total de participantes é 50, isso quer dizer que o universo são 50 participantes (U = 50), e desse universo 5 participantes falam inglês e português ((I∩P) = 5), e 20 falam português (P = 20) e 3 dos participantes não falam nenhuma das línguas, então esse é um numero que estará fora do diagrama e pode-se representar por x = 3. E um dado curioso, é que o exercício não informa o número de participantes que falam inglês, então é uma incógnita a descobrir, dessa feita, podemos nomeá-la como uma variável qualquer, nesse caso, o y.
b) Represente os dados num diagrama de Venn.
O número 15, presente no diagrama, é a diferença de 20 – 5 = 15, correspondendo assim o número de participantes que falam somente português.
b) Determine o número de participantes que falam somente a língua inglesa.
Primeiro vamos determinar os que falam inglês, nesse caso é o valor de y.
Até aqui determinarmos, o valor dos participantes que falam a língua inglesa, então, para termos apenas os que falam inglês, devemos subtrair por 5.
R: Falam apenas inglês 27 participantes.
6. Considere a figura:
Determine a medida da altura h.
Resolução
O triângulo ABE, esta inscrito no triângulo ACD, então têm dois triângulos com dimensões diferentes, mas mesmo tendo dimensões diferentes, esses dois triângulos tem o mesmo ângulo, então assim sendo podemos fazer uso das razões trigonométricas para determinarmos a altura h, geralmente quando se pretende determinar altura, usamos a função tangente.
Uma vez tendo o mesmo ângulo terão o mesmo valor de tangente, dessa forma temos.
7. Seja f, o gráfico representado pela figura. Determine:
a) A equação do eixo de simetria do gráfico de f.
b) O contradomínio de f.
c) As coordenadas do vértice.
d) A expressão analítica de f
Resolução
a) A equação do eixo de simetria do gráfico de f.
Eixo de simetria, o valor de x que corta o gráfico em duas partes iguais, dessa forma, o eixo de simetria da função é: x = 2.
b) O contradomínio de f.
O contradomínio, verifica-se na parte crescente do gráfico, e a leitura, faz-se no eixo do Y, dessa forma o contradomínio é: CD: ]-1; +∞[.
c) As coordenadas do vértice.
As coordenadas do vértice é o ponto onde a função muda de sentido, com um correspondente em x e em y, dessa forma, temos: CV(Xv; Yv) → CV(2; -1).
d) A expressão analítica de f.
A função tem duas raízes: x1 = 1 e x2 = 3, com base nessas raízes, e associado ao sentido ca concavidade que é voltada para cima (a > 0), pode-se determinar a função analítica, dessa forma temos:
8. No gráfico está representado o número de praticantes de quatro modalidades desportivas de um clube escolar.
a) Tendo em conta que cada aluno pratica apenas uma modalidade, calcule o número total de praticantes das quatro modalidades.
b) Qual é a modalidade que mais se pratica?
Resolução
a) Tendo em conta que cada aluno pratica apenas uma modalidade, calcule o número total de praticantes das quatro modalidades.
Num.Alunos = Andebol + Basquetebol + Futebol + Atletismo
Num.Alunos = 30 + 40 + 30 + 20
Num.Alunos = 120 alunos
c) Qual é a modalidade que mais se pratica?
A modalidade mais praticada é o Basquetebol, pois apresenta maior número de alunos.
Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2015 – 1ª época