Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2015 – 1ª época

Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do ano de 2015 – 1ª época

1. Assinale com (V) as verdadeiras ou (F) as falsas as afirmações que se seguem:

1º: Vamos chamar o intervalo [-5,3] de A ou seja, A = [-5,3].

2º: Representar o conjunto A, numa recta graduada.

3º: Fazendo a divisão da fracção -5/2 = -2,5. Portanto, vamos procurar se na recta acima consta o elemento – 2,5 certamente o elemento – 2,5 consta e está indicado. Mas, por se tratar de intervalo numérico, o elemento -2,5 está contido no intervalo A, mas não pertence ao mesmo conjunto (A).

4º: Conclusão – É Falso (F).

É importante conhecer algumas propriedades dos módulos, o módulo de qualquer número, seja positivo ou negativo, será sempre positivo, assim teremos: |- 5| = 5

Outro aspecto a considerar é que a multiplicação de dois sinais negativos, resulta em um sinal positivo, ficando: – (- 5) = 5

Generalizando: | – 5 | = 5 equivale a – (- 5) = 5

Então:  é Falso (F)

Umas das propriedades da potenciação diz: 1 elevado a qualquer outro número, ou mesmo uma letra (variável, incógnita) é sempre igual a 1, logo 1²⁰¹⁵ = 1.

1²⁰¹⁵ = 1, e 1 ≠ 2015, logo é Falso (F).

Observe que os logaritmos tem as mesmas bases, portanto descartamos as bases, e nos concentramos apenas em comparar os logaritmandos: (1/4)>(1/8). Sendo (1/4) maior que (1/8), então o log₂^(1/4) é maior.

Logo, é Verdade (V).

2. Determine o valor numérico das seguintes expressões:

Lembre-se que quando um logaritmo não apresenta uma base, por definição sua base é 10, exemplo log^a = log₁₀^a .

Observando a expressão o log²⁰ = 1,3010 e log²⁰⁰ = 2.3010, ambos com valores decimais, para melhor resolver essa expressão recorremos as propriedades logarítmicas.

Observa-se que a expressão acima, os logaritmos tem bases diferentes, então a resolução será feita em partes, usando a definição dos logaritmos:

Terminando:

Antes porém, vamos decompor os radicando em função índice:

Comentários:

(1): Fez-se uma decomposição dos radicandos em função dos seus índices.

(2): Substituiu-se os radicando pelo seus correspondentes.

(3): Fez-se a simplificação entre os índices e os expoentes.

(4): Após a simplificação, apenas escreve-se os radicando (sem nenhuma raiz – expoente e índice), pois já foram simplificados.

(5): Reorganizou-se fazendo uma operação básica.

(6): Organiza-se os termos semelhantes, os números sem raiz entre si (obedecendo o sinal de cada um), e os termos com raiz entre também entre si, mas também verifica-se que os termos com raiz tem raízes em comum (³√3), então coloca-se em evidência os seus coeficientes (obedecendo o sinal de cada coeficiente) e multiplicando apenas com uma raiz.

(7) e (8): Realizou-se uma operação básica, e por fim expressa-se o valor final da expressão numérica.

Comentários:

(1): Primeiro agrupemos em termos semelhante, colocando no primeiro membro os coeficientes com as suas respectivas variáveis (tudo que tem x), e no segundo membro coeficientes sem variáveis (tudo que não tem x), em linguagem vulgar fica: tudo que tem x no primeiro membro e o que não tem x, no segundo membro. Ao mover um coeficiente de um membro para outro altera-se o sinal, para o sinal oposto, isto é, negativo passa para positivo e positivo para negativo.

Resolve-se normalmente como se tratasse de uma simples expressão numérica aplicando as devidas propriedades, comecemos por calcular o mmc.

(2): Depois de encontrar o mmc, segue-se operando obedecendo as regras, uma vez tendo os denominadores iguais, podemos operar entre si os numeradores e mantendo apenas um denominador, como a regra manda.

(3): Por se tratar de uma inequação devemos especificar/indicar o sentido de cada solução (direita/esquerda)

Por se tratar de uma inequação, a solução representa-se sob forma de intervalos numéricos.

Ambos os intervalos apresentam de bolinhas vazias, o que significa que os intervalos serão abertos.

Para a resolução de uma equação trigonométrica, primeiro observa-se o intervalo em que podemos operar, em outras palavras o nosso domínio de operação, para essa equação o valor do ângulo x deve ser maior de 0e menor que 90.

O valor de tangente de 60 corresponde a √3 esse valor pode ser encontrado na tabela trigonométrica (é importante que conheça a tabela).

Para usuários de máquinas calculadoras científicas pode usar a função:

Shift de seguida clicar em tan^-1 e posteriormente insira o valor do ângulo que pretende encontrar e clica em igual (=).

Nessas condições por termos a função tangente em ambos os membros, podemos descartar, considerando apenas o que estiver dentro de parênteses (seus argumentos):

Ficando uma expressão linear básica, e para a sua resolução é simplesmente usar as regras básicas.

Observa que 45º é maior que 0º e menor que 90º (0º < 45º < 90º). Então a solução confere.

1º: Identificar os valores dos coeficientes a, b e c:

2º: Calcular o valor de delta (∆):

3º: Usar a fórmula resolvente para calcular os valores de x₁ e x₂:

Voltemos agora para a condição imposta:

NTS (não tem solução em números reais), pois não existe raiz de um número negativo no conjunto IR

Logo a equação terá apenas duas soluções:

Comentários:

(1): É uma equação biquadrática, para o início da conversa, e como a matemática, oferece diversos métodos de resolução, nesse exercício não será diferente, mas vou aqui resolve-lo de uma forma simples e clara.

(2): Institui-se substituir a variável x² por t, isto é, em todo lugar que tiver x² será substituído por t.

(3): Procedeu-se então a substituição da variável, indicada no ponto (2).

(4): Fez-se o cálculo do mmc, entre os diferentes denominadores, de lembrar que todo número que aparentemente não apresenta nenhum denominador, tem um como denominador que geralmente não se escreve, isto é, 2 = 2/1.

(5) e (6): Depois de encontrados os mmc, realiza-se os respectivos cálculos, afim de obter assim os mesmos denominadores.

(7): Tendo os mesmos denominadores, podemos operar, adicionando os seus numeradores e mantendo apenas um denominador, visto que já foi calculado o mmc, no ponto (4). Também é possível verificar que o denominador do primeiro membro é igual ao denominador do segundo, membro, dessa forma podemos simplificar ambos denominadores.

(8), (9) e (10): No final teremos uma equação quadrática completa, ou seja, transformarmos uma equação biquadrática em quadrática, e para a sua resolução recorre-se a equação de Bhaskara.

a) De acordo com a tabela, 120 alunos tem preferência por matemática, 200 por física e 80 em ambas as disciplinas.

b) Do universo (U), 120 alunos do U gostam de matemática, 200 alunos do U gosta de física, e 80 do universo U gostam das duas. Portanto, nesse caso vamos calcular o número de estudante que gostam somente de uma disciplina:

a) Para construir gráfico de uma função quadrática f(x) = x² + 4x +3, obedece-se:

1º: Identificar os valores dos coeficientes a, b e c:

2º: Análise da concavidade da parábola:

O valor de a é positivo (a > 0) logo a concavidade estará voltada para cima (U).

3º: Calcular o valor de delta (∆):

4º: Calcular os zeros da função, usando a fórmula resolvente (Fórmula de Bhaskara):

5º: Determinar os vértices da função:

Para construir gráfico de uma função quadrática g(x) = x + 3, obedece-se:

1º: Determinar o zero da função:

Podemos assim expressar o primeiro ponto, para x = – 3 e y = 0 → P₁(-3,0)

2º: Determinar a ordenada na origem da função:

Podemos assim expressar o segundo ponto, para x = 0 e y = 3 → P₂(0,3)

6º: Construir o gráfico f(x) e g(x), no mesmo Sistema Cartesiano Ortogonal (SCO):

Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2022 – 1ª Chamada

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