Resolução do Exame de Matemática do ano de 2011 – 1ª época
1. Assinale com (V) verdadeiras ou (F) falsas as afirmações que se seguem:
Atendendo a regra de conversão de uma potência para raiz obedece-se:
b) 23 + 33 = 56 Falso (F)
Para começar a adição ou subtração de potências não gozam de nenhuma propriedade específica, apenas faz-se o cálculo convencional. Observe:
23 = 8; 33 = 27; 56 = 15625, logo: 23 + 33 = 56 ⇒ 8 + 27 = 15625 ⇒ 35 ≠ 15626
c) {1;2} = [1;2] Falso (F)
{1;2}, quando uma solução, ou conjunto de soluções é apresentada em chavetas, significa que é solução de uma equação, e únicos números possíveis são escritos dentro das chavetas.
[1;2], os números dentro de intervalos, apresentam soluções de uma inequação, e para nosso caso existem inúmeras soluções possíveis, desde que seja igual ou maior que 1 ou menor e igual a 2.
d) cos(60º) = sen(30º) Verdadeiro (V)
De acordo com os valores dos ângulos na tabela trigonométrica, temos cos(60º) = ½, assim com sen(30º) = ½. Logo, cos(60º) = sen(30º).
2. Determine o valor numérico das seguintes expressões:
Comentários da resolução
(1) e (2): A partir da expressão dada no ponto (1), ela é decomposta isso já no ponto (2), essa decomposição pode ser vista abaixo da resolução, então para fazer a decomposição, devemos estar bastante familiarizado com esse tipo de operação, para além do senso comum, geralmente a decomposição é feita em função do índice do radical, ou mesmo até a partir de um múltiplo comum.
(3): Depois da composição, faz-se a simplificação entre os índices e os expoentes do radicando, de lembrar que toda raiz que aparentemente não apresenta nenhum índice, tem índice 2.
(4): Desde o momento que haja a simplificação entre o expoente e índice, automaticamente a raiz deixa de existir, se e somente se o índice for igual ao expoente, ou também quando o índice for menor que o expoente do radicando.
(5) e (6): Uma operação matemática de base, simples de resolver.
Comentário sobre a resolução
(1): Em função dos valores dos ângulos especiais na tabela trigonométrica, sen30o, corresponde a ½, e de cos45o equivalente a √2/2, e tg45o equivale a 1. Então, a partir desses valores faz-se simplesmente a substituição de dados.
(2) e (3): De acordo com a regra de divisão de duas fracções, mantem-se a primeira e divide-se pelo inverso da segunda. E o denominador da primeira fracção (2), simplifica-se pelo numerador da segunda fracção.
(4): Umas das propriedades de fracções diz que, na divisão de um número por uma fracção, o denominador da fracção, passa a multiplicar pelo número que está dividindo pela fracção. Após a operação resultou-se em fracções com mesmos denominadores, então na adição de duas fracções com mesmos denominadores, adiciona-se os numeradores e matem-se o denominador.
(5) e (6): Uma vez que a fracção apresenta uma raiz no denominador, faz-se a racionalização do denominador, multiplicando o numerador, assim como o denominador com a raiz que estiver no denominador, a fim de eliminar a raiz no denominador.
3. Determine o valor de m de modo que o polinómio p(x) = (m + 4)x3 + 2x2 + x + 1 seja do segundo grau.
De antemão dizer que um polinómio é de segundo grau, quando o expoente máximo de todo o polinómio seja x2, mas nesse caso em concreto o expoente máximo é x3, então deve-se eliminar esse expoente a fim de termos apenas x2 como sendo o expoente máximo, dessa feita teremos um polinómio de segundo grau. Para eliminar o expoente do x3, devemos igual a zero o coeficiente do x3, ficando:
(m + 4) = 0
m = – 4
Sol: m ∈ IR {- 4}.
4. Calcule o produto do polinómio p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 por x + 3
Quando diz-se produto, é o mesmo que dizer a multiplicação, então dessa forma vamos multiplicar o polinómio p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 por x + 3. Assim temos:
Comentário sobre a resolução
(1) e (2): Apresenta-se os polinómios a serem multiplicados, e a multiplicação entre duas expressões algébricas complexa (envolvendo adição ou subtração), calcula-se observando a propriedade distributiva da multiplicação, para melhor ilustrar foram divididas em cores, só para ilustrar a propriedade distributiva.
(3): Após a distribuição, efectua-se a multiplicação entre a variável pintada e todo o número que está dentro dos parêntesis curvos.
(4) e (5): Depois de multiplicar, temos uma série de adição e subtração, para resolvermos esse polinómio, adiciona-se ou subtraem-se polinómios com variáveis do mesmo grau (expoente), e por fim representa-se o resultado.
5. Resolva a equação 2senx – 1 = 0, sabendo que x ∈ [0; π].
No círculo trigonométrico, o valor de π, corresponde a 180º, então com isso quer dizer que o valor de x deve estar dentro do intervalo de 0 a 180º.
Comentário sobre a resolução
(1) e (2): Sendo uma equação, então ela apresenta dois membros, mandamos – 1 para o segundo membro, e nessa transição do 1º para o 2º membro, ocorre com inversão do sinal. Então o coeficiente está a multiplicar com o senx, e quando passa para o segundo membro passa a dividir.
(3): chegado a esse ponto, é importante que você conheça a tabela trigonométrica, uma vez que a ideia é calcularmos o valor de x, não senx, então para isolarmos o x, faz-se o arcsen do valor que está no segundo membro.
(4): Olhado na tabela trigonométrica, o valor de x, cujo seno vale ½ é 30º. Logo, x = 30º, e olha que 30º está dentro do intervalo de 0 a 180º.
(5): Encontrado o primeiro ângulo, faz-se também a subtração do valor encontrado por 180º, resultando em 150º, e olha que 150º está dentro do intervalo de 0 a 180º.
6. Dos 35 alunos de uma turma da 10ª classe, 20 gostam de Biologia, 26 gostam de Matemática e 14 gostam de Matemática e de Biologia.
a) Represente os dados num diagrama de Venn.
b) Quantos alunos não gostam de nenhuma das disciplinas?
c) Quantos alunos gostam de Biologia ou de Matemática?
d) Qual é a percentagem dos alunos que gostam de Biologia?
a) Represente os dados num diagrama de Venn.
b) Quantos alunos não gostam de nenhuma das disciplinas?
R: Não gostam de nenhuma disciplina 3 alunos.
c) Quantos alunos gostam de Biologia ou de Matemática?
R: Gostam de Biologia ou Matemática 32 alunos.
d) Qual é a percentagem dos alunos que gostam de Biologia?
R: Gostam de Biologia 57,14% dos alunos.
7. Numa escola do ensino secundário foram seleccionados 20 alunos, ao acaso, para se fazer uma investigação sobre a altura dos alunos da escola. Os resultados obtidos foram os seguintes: 168; 160; 168; 175;175; 160; 165;154; 160;165;168;168; 154; 168; 160; 160; 160; 168; 168; 154.
Observa a tabela:
a) Quais são os valores de A, B, C e D da tabela acima?
b) Determine a altura média dos alunos.
c) Qual é a moda das alturas?
Resolução
a) Quais são os valores de A, B, C e D da tabela acima?
Uma vez que tem-se 20 alunos, então, o somatório de todos os alunos (fi) deve ser igual a 20.
O somatório de todas as percentagens fr(%) deve ser igual a 100.
b) Determine a altura média dos alunos.
d) Qual é a moda das alturas?
Moda é o valor que mais repete, logo a moda é M0 = 168, pois repetiu 7 vezes.
8. Considere o gráfico da função f(x) = ax + b representado na figura abaixo. Determine:
a) O sinal de a.
b) O valor de b.
c) A variação do sinal da função.
d) A expressão analítica de f (x).
Resolução
a) O sinal de a.
O sinal de a e negativo (a < 0), pois o declive da recta está para esquerda.
b) O valor de b.
Valor de b, indica a ordenada na origem, isto é, quando x = 0, então o valor de b = 1.
Ou por outra, o valor de b, é onde o gráfico corta o eixo dos y.
c) A variação do sinal da função.
] -∞; 1[ → Positiva. Pois, está acima do eixo dos x.
]1; + ∞[ → Negativo. Está abaixo do eixo dos x.
d) A expressão analítica de f (x).
Veja também: Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2022 – 1ª Chamada