Resolução do Exame de Matemática da 10ª Classe do Ano de 2022 – 1ª Chamada
1. Assinale com (V) verdadeiras ou com (F) falsa as afirmações que se seguem:
a) R\R– = R+0
b) cotg45o > tg45o
c) log1/2 (4/64) = 4
d) 0,40 = 4 %
Resolução
a) R\R– = R+0 (V)
O Conjunto R simboliza todos os números reais, ou seja, de menos infinito até ao mais infinito, portanto, podemos particularizar ainda mais, de menos infinito até ao mais infinito temos, o conjunto de números reais negativos (R–), temos o zero (0), e também temos o conjunto de números reais positivos (R+), dessa forma fica: R = R– ∪ {0} ∪ R+.
Agora observe, que o conjunto R–, é um subconjunto do conjunto do R, nesse caso R– faz menção apenas de números reais negativos, dessa forma, fazendo a diferença entre todo o conjunto R e o subconjunto R–, teremos como resultado o conjunto dos números reais positivos R+ incluindo o próprio {0}, resultando no conjunto R+0, dessa forma podemos dizer que a afirmação é verdadeira.
b) cotg45o > tg45o (F)
De acordo com tabela trigonométrica de ângulos especiais, o valor de cotg 45º = tg 45º = 1, portanto, essa afirmação é falso.
c) log1/2 (4/64) = 4 (V)
d) 0,40 = 4 % (F)
0,40 = 0,40 x 100% = 40%, logo a afirmação é falsa.
2. Considere o triângulo [ABC]. Determine o valor de x sabendo que AB = BC = 2 cm:
Resolução
O valor de x corresponde a abertura do ângulo entre os segmentos AC e BC, conhecidos os valores do segmento AB (cateto oposto) e o segmento BC (cateto adjacente) que equivalem 2 cm respectivamente, portanto, em função desses dados, nesse caso os catetos, podemos fazer função da função tangente para determinarmos o valor do ângulo x.
3. Resolva as seguintes equações em R:
a) 3tgx – √3 = 0 para x ∈ [0o; 90o]
b) 9x4 – 81 = 0
c) – x2 + 3x ≥ 0
d) log4 (2 – 3x) = log4 (x – 3)
Resolução
a) 3tgx – √3 = 0 para x ∈ [0o; 90o]
O valor do ângulo x a determinar, deve estar no intervalo de 0o a 90º, conforme é indicado pela condição, a que o ângulo deve pertencer, dessa forma temos:
(1): Passou-se para o segundo membro a raiz de 3, nessa transição do primeiro para o segundo membro, ocorre simultaneamente com a mudança de sinal.
(2): Uma vez que o 3 está a multiplicando com o tangente, ao passar para o segundo membro, passa a dividir.
(3) e (4): Uma vez que pretendemos calcular o valor de x, usamos a função inversa do tangente, chamado de arctg, e observando esse valor na tabela dos ângulos especiais, constata-se que corresponde a 30º.
Repare que 30º, faz parte do conjunto entre 0o a 90º, dessa forma essa é a solução.
b) 9x4 – 81 = 0
A equação acima, é uma equação biquadrática incompleta, e para a sua resolução, devemos antes estabelecer a seguinte condição, seja: x2 = t
(1) e (2): Realizou-se a decomposição do expoente 4, fazendo uso das propriedades de potenciação, entretanto, a partir da condição pré estabelecida, x2 = t, fez a devida substituição, tendo transformado de ordem a x, para uma equação uma nova em ordem a t, tendo resultado numa equação quadrática do tipo ax2 – c = 0.
(3) a (7): Aplicando as propriedades de resolução desse tipo de equação, teve-se como raízes t1 = -3 e t2 = 3. Portanto, aqui ter em conta que a equação principal foi dada em função a x, e as raízes que calculamos, foi dada em função a t, dessa forma, temos de voltar a condição inicial, sob forma de termos o valor de x, dessa forma, apenas iremos trabalhar com a raiz positiva, dessa firma fica:
Feito isso, já temos a solução da equação dada em função a x, como é pedido.
c) – x2 + 3x ≥ 0
A inequação acima é quadrática do tipo, ax2 + bx ≥ 0, entretanto, essa inequação terá como solução valores positivos, pois a condição (≥), significa que a essa inequação a sua solução deve ser igual ou maior que zero, e todos os números maiores que zero são positivos, e pela representação da desigualdade o intervalo da solução será fechado. Portanto, para a resolução, vamos transformar essa inequação numa equação, portanto tem-se:
No ponto (1), o valor de x em comum em ambos os termos, então colocou-se em evidência, tendo resultado numa equação linear (2), onde simplesmente igualou-se ambos os termos por zero, para calcularmos as raízes dessa equação (3).
O valor de a dessa inequação é negativa (a < 0), logo a sua concavidade estará voltada para baixo.
A parte pintada do gráfico, corresponde a região positiva, então a solução será dada dessa forma:
Sol: x ϵ [0; 3]
d) log4 (2 – 3x) = log4 (x – 3)
As bases dos ambos os logaritmos são iguais, então, pode-se eliminar as bases e mantendo apenas com os logaritmandos, dessa forma termos:
Igualando os logaritmandos de cada logaritmo, resultou numa equação linear (1), onde a sua resolução resolve passando toda variável x para o primeiro membro, e os termos sem x (independentes) para o segundo membro, de notar que nas transições de um membro para outro, ocorre também a, mudança de sinal, conforme indicado no ponto (2).
Feito isso, devemos calcular então o domínio de existência de cada logaritmo, a fim de confrontar com o valor da solução encontrada
Esboçando o gráfico para os domínios de cada logaritmo temos o seguinte:
Observa-se que a solução 5/4 não faz parte do conjunto solução, logo essa equação não tem solução em R, dessa forma fica:
Sol: x ϵ IR { }
4. Dos 120 funcionários de uma repartição pública, 60 lêem a revista A, 80 lêem a revista B e todos os funcionários lêem pelo menos uma delas.
a) Represente os dados num diagrama de Venn.
b) Determine o número de funcionários que lêem as duas revistas.
c) Quantos funcionários lêem somente a revista B?
d) Quantos funcionários lêem apenas a revista A?
Resolução
a) Represente os dados num diagrama de Venn.
b) Determine o número de funcionários que lêem as duas revistas.
Lêem as duas revistas A e B, 20 funcionários.
c) Quantos funcionários lêem somente a revista B?
R: Lêem a revista A, somente 40 funcionários.
d) Quantos funcionários lêem apenas a revista A?
R: Lêem a revista B, apenas 60 funcionários.
5. Seja dada a função f(x) = log5(x)
a) Represente graficamente a função f(x).
b) Qual é o contradomínio da função f(x)?
c) Qual é a variação do sinal da função no intervalo de ]0; 1[?
Resolução
A função dada é uma função logarítmica, portanto, para a sua representação e estudos deve-se fazer valer das condições existências do logaritmo.
a) Represente graficamente a função f(x).
A função f(x) = log5(x), tem base 5, portanto o valor do logaritmando devem ser potências de base 5, dessa forma fica:
b) Qual é o contradomínio da função f(x)?
O contradomínio de uma função, verifica-se na ordenada, ou seja, no eixo dos y, olhando para esse eixo, nota-se o gráfico abrange uma parte negativa e outra positiva, logo, o seu contradomínio é o conjunto dos números Reais (IR).
c) Qual é a variação do sinal da função no intervalo de ]0; 1[?
Quando um intervalo é apresentado na forma de intervalos abertos, significa que os valores nas exterminadas do intervalo, não fazem parte, ou seja, queremos estudar a variação do sinal, no intervalo em que x > 0 e x < 1, portanto, observando o gráfico, nesse intervalo a função encontra-se na parte debaixo do eixo de x, logo o sinal é negativo.
6. Considere o gráfico da função g(x):
a) Quais são os zeros da função?
b) Para que valores de x, g(x) <= 0?
c) Qual é a variação da função g(x) no intervalo de ] – ∞; 3[?
d) Determine a expressão analítica a função.
Resolução
a) Quais são os zeros da função?
Zeros da função, são valores que x, que anulam o valor da função, isto é, são valores de x, que quando substituído na função resulta em 0, ou ainda, é todo o ponto do gráfico onde corta o eixo dos x, nesse caso temos: x1 = 1 e x2 = 5
b) Para que valores de x, g(x) ≤ 0?
Corresponde a todos valores de x, correspondentes a 0 ou negativos, então, uma vez que a parábola está voltada para baixo, então esse intervalo corresponde a região das extremidades dos zeros da função, ficando: x ϵ ]-∞; 1] ∪ [3; +∞[
c) Qual é a variação da função g(x) no intervalo de ] – ∞; 3[?
A função no intervalo de ] – ∞; 3[ está a crescer, ou seja, é crescente.
d) Determine a expressão analítica a função.
Para o cálculo da expressão analítica, necessitamos dos zeros da função, x1 = 1 e x2 = 5, bem como um ponto auxiliar, nesse caso o olhando para o gráfico temos o ponto x = 0 e y = -5, ou simplesmente P(0,-5) também chamado de ordenada na origem.
7. 12 Alunos de uma escola, foram inquiridos sobre o número exacto de irmãos de cada um deles e obteve-se os seguintes dados: 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 3. Determine:
a) A moda.
b) A média aritmética.
Resolução
a) A moda.
A moda é o valor que mais vezes repete, dessa forma, repete mais o número 6, logo, M0 = 6
b) A média aritmética.
É a soma de todos números, e dividido pelo total dos números, dessa maneira fica:
