Exercícios Resolvidos de Equações Exponenciais da 11ª Classe
Parte – 5
5. Resolve as equações:
Resolução
Para a resolução desse tipo de equação exponencial, é importante que tenha bases sólidas sobre a potenciação e suas propriedades. Até porque quando falamos de equações exponenciais, estamos de forma implícita a falar de potenciação.
Comentário da Resolução
(1) e (2): Como os expoentes estão a adicionar entre si, então ao fazer a separação entre expoentes, as bases irão multiplicar entre si. Isso deve-se pelo facto de que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, ou seja, 21 = 1.
(3); (4) e (5): Uma vez que em ambos os termos, temos um factor em comum, que é 2x, então colocou-se em evidência. De seguida soma-se os valores que estão dentro de parenteses, que posteriormente será divido por 12, como mostra os cálculos acima.
(6) e (7): Tendo resultado numa equação exponencial simples, decompõe-se o 4, em função da base 2. E por fim temos o de valor de x.
Comentário da Resolução
(1) e (2): Os expoentes da primeira parcela, estão a subtrair, então ao fazer a separação entre os expoentes, as suas bases irão dividir entre si. Mas a segunda parcela, os expoentes estão a adicionar entre si, então ao fazer a separação entre expoentes, as bases irão multiplicar entre si. Chegado a esse ponto, pode-se optar por diversos métodos de resolução. Mas achamos conveniente em usar o método de substituição. Onde o valor de 3x será igual a k, ou seja, em todo lugar que tiver 3x, vamos substituir por k.
(3); (4); (5); (6) e (7): Conforme instanciado antes, fez-se a devida substituição, onde calculou-se o mmc entre os denominadores, tanto no primeiro como no segundo membro. Daí que razão pela qual no ponto (5), não consta denominador. Pois igualamos em ambos os membros, então simplifica-se, resultando numa equação linear. Aplicado os métodos de resolução convenientes, encontrou-se o valor de k igual a 27. Mas tome nota, até então, calculamos apenas o valor de k, mas o pedido é para calcular o valor de x, dessa forma teremos de voltar para a condição imposta anteriormente 3x = k.
Nesse caso, como já é conhecido o valor de k que é 27, então substituiu-se k por 27, e decompondo 27 na base 3, temos o resultado dado na solução.
Comentário da Resolução
(1) e (2): Os expoentes da primeira parcela, estão a subtrair, então ao fazer a separação entre os expoentes, as suas bases irão dividir entre si. Mas a terceira parcela, os expoentes estão a adicionar entre si, então ao fazer a separação entre expoentes, as bases irão multiplicar entre si. Chegado a esse ponto, pode-se optar por diversos métodos de resolução, mas achamos conveniente em usar o método de substituição, onde o valor de 2x será igual a y, ou seja, em todo lugar que tiver 2x, vamos substituir por y.
(3); (4); (5); (6) e (7): Conforme instanciado antes, fez-se a devida substituição, onde calculou-se o mmc entre os denominadores, tanto no primeiro como no segundo membro, razão pela qual no ponto (5), não consta denominador, pois igualamos em ambos os membros, então simplifica-se, resultando numa equação linear, que aplicado os métodos de resolução convenientes, encontrou-se o valor de y igual a 2. Mas tome nota, até então, calculamos apenas o valor de k, mas o pedido é para calcular o valor de x, dessa forma teremos de voltar para a condição imposta anteriormente 2x = y.
Nesse caso, como já é conhecido o valor de y que é 2, então substituiu-se y por 2, e decompondo 2 na base 2, temos o resultado dado na solução.
Comentário da Resolução
Mesmos procedimentos que os exercícios b e c.
Comentário da Resolução do exercício e) e f)
Divide-se toda a equação pelo valor do segundo membro, por terem o mesmo expoente, no primeiro membro, dividem as bases elevados e mantemos apenas um expoente, já no segundo membro, por estarem a dividir dois números iguais, então o seu resultado 1.
Olha que todo número elevado a 0 é igual a 1, então, dessa forma, no segundo membro teremos a mesma base que no primeiro, mas elevado a 0, pois todo número elevado a 0 é 1, então igualdadas as bases, eliminamos as bases e mantemos os expoentes, igualando os temos x = 0.
Veja também: Exercícios Resolvidos Sobre Equações Exponenciais da 11a Classe: Parte 4